Cálculo III
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
CÁLCULO III - PROFESSOR: FELIX PEDRO QUISPE GOMEZ
Trabalho de Cálculo III
Julho, 2011.
1) Analisar a diferenciabilidade da função definida por f ( x , y ) x y , no ponto ( x 0 , y 0 ) (1, 4) , e calcular o plano tangente à superfície neste ponto.
Solução 1: Seja f ( x , y ) função: y . Então vamos encontrar as derivadas parciais da
x
f x ( x, y )
x
f y x, y
y
2
y
Aplicando no ponto (1,4) temos: f x (1, 4)
f y (1, 4 )
2
1
4
Como as derivadas parciais no ponto (1,4) são contínuas, segue que a função f é diferenciável no ponto (1,4).
Temos a equação do plano tangente .no ponto (1,4): x z
f ( x0 , y 0 )
x0
y
f ( x0 , y 0 )
y0
x
x
x0
f ( x0 , y 0 )
y
y0
x
1
y
f ( x0 , y 0 )
f ( x0 , y 0 )
y
z
4
Aplicando a equação do ponto (1,4): z f (1, 4 )
f (1, 4 )
z
2
2
2
2( x
1
x
1
4
z
y
4
1
1)
(y
4)
4 z y
2x
1
4
2) Determine e classifique os extremos relativos da função definida por, f ( x, y )
x
3
y
3
3y
2
3x
9y
2
Solução: Seja as derivadas parciais da função f(x,y): x y
3x
f ( x, y )
2
3
3y
f ( x, y )
2
6y
9
Simplificando:
3x
3y
2
2
3
6y
x
0
( 3)
9
0
2
y
2
1
2y
0
(x
3
0
1)( x
1)
(y
1)( y
3)
0
0
Pontos críticos: x1 1,
y1
x2
1,
Q1
y2
3
( 1,1)
Q2
( 1, 3)
Q3
1
(1,1)
Q4
(1, 3)
Temos ainda:
2
x
f ( x, y )
2 xy 6x
f ( xy )
2 yx 0
f ( x, y )
2 y 0
f ( x, y )
6y
22
3 6 xy
36 x
22
36 x( y
1)
Vamos calcular:
11
2 x f ( x, y )
2 x 6x
22
2 yx 6x
6y
• Avaliando no ponto Q1
11
6
22
;
36 x ( y
22
60
22
;
36 x ( y
22
36.1(1