Cálculo Fracionário Apresentacao

Cálculo Fracionário e
Controladores
P Uma pequena introdução
Prof. Antônio Maia
Marcelo Boson

História
• Especulações sobre o q-cálculo começaram na mesma época em que o cálculo diferencial e integral de ordem inteira foi criado;
• Primeira menção em uma carta de l´Hôpital a Leibniz em 1695, na qual questionava o significado da expressão
• Após essa primeira menção ao cálculo fracionário muitos matemáticos estudaram o que significaria realizar estas operações.
• Grandes nomes como: Euler, Leibniz, Fourier, Lagrange, Heaviside, Weyl, etc.

Periódicos Internacionais
• Existem ao menos dois periódicos que tratam com exclusividade do estudo sobre o cálculo fracionário:
• Journal of Fractional Calculus;
• Fractional Calculus and Applied Analysis;
• Vários artigos são publicados sobre o q-cálculo em diversos outros periódicos científicos. Resumo do q-Cálculo
• Existem diversas possibilidades de se definir uma derivada ou integral fracionária; • Certas definições atendem certos critérios que beneficiam certos tipos de fenômenos – cabe ao pesquisador usar a definição que melhor atende o sistema estudado;
• Existem três principais definições da diferintegração: RiemannLiouville, Grünwald-Letnikov e Caputo.

Notas sobre a Notação do q-Cálculo
•
•= onde α é a ordem da operação, geralmente , mas também pode ser um número complexo.

Riemann-Liouville
• Definição:

→=

Grünwald-Letnikov
• Definição:

→=

Caputo: definição
• Tem a praticidade de possuir as mesmas condições iniciais dos sistemas de ordem inteira.
→=
onde .

Principais Propriedades Gerais
• 1) Se é uma função analítica de t, sua derivada fracionária também é uma função analítica de e α;
• 2) Para , a operação apresenta o mesmo resultado da diferenciação clássica de ordem inteira ;
• 3) Para a operação é o operador indentidade:

• 4) Derivação fracionária e integração fracionária são operações lineares:

Controladores Fracionários
• Existem alguns tipos de controladores fracionários sendo