Cálculo do momento de inércia

Momento de Inércia de Corpos Homogêneos de Diversas Formas
O momento de inércia é a medida da resistência que um corpo oferece às modificações do seu movimento de rotação, que depende do corpo e da localização do seu eixo de rotação.
Massa:

M =∭ δ dV

(δ=δ ( x , y , z )=densidade)

D

(1)

Primeiros momentos em relação aos planos coordenados:

M yz =∭ x δ dV
D

(2)

M xz =∭ y δ dV (3)
D

M xy =∭ z δ dV
D

(4)

Centro de massa:

̄x =

M yz
M
M
, ̄y= xz , ̄z = xy
M
M
M

Momentos de inércia (primeiros momentos) em relação aos eixos coordenados:
2
2
I x =∭ ( y + z ) δ dV (5)
2
2
I y =∭ ( x + z )δ dV (6)
2
2
I z =∭ ( x + y )δ dV (7)

Momentos de inércia em relação a uma reta L:

I L=∭ r δ dV
2

(r ( x , y , z )=distância do ponto( x , y , z ) à reta L) (8)

Momento de inércia com teorema dos eixos paralelos
2

I =Mh +I cm (9)

Equações relacionando coordenadas cartesianas (x , y , z) e cilíndricas (r , θ , z) :

x=r cos θ , y =r senθ , z =z r 2 = x 2+ y 2, tg θ= y / x
Equações relacionando coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas e cilíndricas:

r=ρ sen ϕ , x=r cos θ=ρ sen ϕ cos θ z =ρ cos ϕ , y=r sen θ=ρ sen ϕ sen θ
2
2
2
2
2
ρ=√ x + y +z = √ r + z
Raio de rotação em relação à uma reta L:

R L= √I L / M (10)
Tabela 1: Fórmulas de massa e momentos para objetos sólidos no espaço

Corpo 1: Cilindro maciço em relação ao eixo.

1. Desenho: Cilindro maciço A densidade do corpo se dá por
M
δ=
Sendo L o comprimento do cilindro. π R2 L
Observando a figura obtemos as seguintes informações: x=ρcos θ
0≤r≤R
y=ρ sen θ 0≤θ≤2 π dV =dz dA=rdzdrd θ
0≤ z≤L z= z onde z é o eixo de simetria.
Pela equação (7) temos
L

I z =∭ ( x + y )δ dV
2

2

z= L

= δ∬ ∫( x 2+ y 2 ) dzdA = δ∬ ( x 2+ y 2 ) [ z ] z=0 dA
D

0
2π R

D

I z =δ∬ ( x 2+ y 2 ) L dA = δ L ∫ ∫ (r 2 cos2 θ+r 2 sen 2 θ)r dr d θ
D

0

2π R

0

2π R

2π

I z =δ L ∫ ∫ r (cos θ+sen θ)dr d θ = δ L ∫