Cálculo Diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
TRABALHO DE ESBOÇO DE GRÁFICO

1. ESTUDO DA FUNÇÃO f(x)= - x³ - x² + 2

a. Determinação do domínio e imagem: Verifica-se que f(x) admite qualquer valor atribuído a x. Sendo assim:

D= R e I=R

b. Pontos de interseção com os eixos: Para identificarmos os pontos de interseção com os eixos x e y temos que atribuir o valor 0 para x e para f(x). Sendo assim:
Para f(0) => y = - (0)³ - (0)² + 2 = 2
Para f(x) = 0 => - x³ - x² + 2 = 0 (Neste caso, teríamos que identificar as raízes desta equação polinomial de 3º grau, realizando cálculos que não são estudados no presente trabalho). Com isso, não identificamos em que ponto a curva de f(x) intercepta o eixo x.
c. Pontos críticos: Os pontos críticos são identificados quando a f¹(x) = 0. Neste sentido, vejamos o cálculo de f¹(x): f¹(x) = - 3 x² - 2 x
Para sabermos em que valores de x f¹(x) = 0, temos que identificar as raízes da equação de f¹(x). Sendo assim: x1 =  => x1 =  = (2 + 2) / - 6 => x1 = - 2 / 3 x2 =  => x2 =  = 0 / - 6 => x2 = 0
Para identificarmos os pontos, devemos substituir o valor de x em f(x) pelos valores de x1 e x2 de f¹(x). Com isso temos: f(- 2 / 3) = - (- 2 / 3)³ - (- 2 / 3)² + 2 = 1,26 => Ponto P (- 2 / 3; 1,26) f(0) = - (0)³ - (0)² + 2 = 2 => Ponto K (0; 2)
d. Intervalos de crescimento e decrescimento de f(x): Para verificarmos em que intervalos f(x) cresce ou decresce temos que, inicialmente, calcular a derivada primeira de f(x). f(x) é crescente quando a f¹(x) > 0. f(x) é decrescente quando a f¹(x) < 0. f¹(x) = - 3 x² - 2 x e suas raízes são - 2 / 3 e 0, conforme calculado anteriormente. Além disso, verificamos que o coeficiente angular de f¹(x) é igual a - 3. Sabemos que quando o coeficiente angular de uma função polinomial do 2° é negativo a parábola do gráfico dessa função possui concavidade para baixo. De posse desses dados, temos um esquema gráfico simplificado de f¹(x):