Cálculo - Derivadas

QUESTÕES RESOLVIDAS
Atividade Objetiva 02

Questão 19
Sabendo-se que possui um máximo para , pode-se afirmar que admite um mínimo para:

a)
b)
c)
d)

Solução
A derivada da função dada é . Como é polinomial e tem um máximo para , podemos escrever:
.
Assim, e .
Nos pontos críticos dessa função, devemos ter:
.
Em , a derivada passa de positiva para negativa e, por isso, a função tem um máximo para .
Já em , a derivada passa de negativa para positiva e a função tem um mínimo para .

A opção correta é a letra a.

Questão 20
O maior valor que a função pode assumir é:

a)
b)
c)
d)

Solução

Para encontrar o máximo ou o mínimo de uma função, procuramos a derivada dessa função e verificamos em que pontos essa derivada vale zero ou não existe.
Calculando a derivada da função , obtemos:
.
.
Como essa derivada passa de positiva para negativa para , o maior valor da função dada é . Para calcular esse valor, fazemos:
.

A opção correta é a letra c.

Questão 21
Se o par ordenado de números reais satisfaz a equação , então o valor mínimo da função é:

a)
b)
c)
d)

Solução
Da equação , obtemos . Substituindo em , temos a função , cuja derivada é:
.

.
Como e , temos .
Desse modo, a função tem um valor mínimo no ponto e esse valor é .

A opção correta é a letra d.

Questão 22
Dentre todos os números reais , tais que , existe um par para o qual o produto é o maior possível. Então, vale:

a)
b)
c)
d)

Solução

A função que deve passar por um máximo é a função produto . Da equação , temos e, assim, .
Desse modo, a derivada do produto é , cuja raiz é .
Com isso, podemos dizer que a função produto passa por um máximo, no ponto e , o que nos permite afirmar que .

A opção correta é a letra c.

Questão 23
Os números reais são as medidas das dimensões de um retângulo cujo