cálculo avancado

Cálculo Avançado
Exercícios sobre Números Complexos- Nível 2

1- - O Determine z (número complexo) tal que 5z +

= 12 + 6i. Resp: 4 + 3i

2- O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)
b)
c)
d)
e)

-3i
1
5/2 + (5/2)i
5/2 - (3/2)i
½ - (3/2)i

Resp: b

1 2
2 3
 i e z2    i , encontre a representação
3 5
3 5
7
7 trigonométrica de z= z1  z2 . Resposta: z  2 (cos
 isen ) .
4
4

3- Sendo z1 

4-

Se z  r cosθ  isenθ é um número complexo na forma trigonométrica,

mostra-se que zn  r n cos nθ  isen nθ para todo n  N. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
a) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2  r 2 cos 2θ  isen 2θ . Demonstração.......
b) Determine todos os valores de n, n  N, para os quais puro. Resposta: .
-1+ 4i ; -1- 4i.
5-



3 i



n

seja imaginário

3
3 

Dado o número complexo na forma trigonométrica z  2 cos
 i sen
,
8
8 

10 escreva os números complexos z , z2 e na forma trigonométrica. z a) No plano complexo da figura ao lado, marque e identifique os números
Eixo
10 imaginári 2 z, z , z e no item acima. z Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.
3

5

Eixo real 6- Observe esta figura: y Q
P

Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.

44°

65°

0
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontos P e Q. z11 Considerando esses dados, escreva o número complexo na forma i .w 5 trigonométrica. Resposta: 2(cos 75 º +i sen 75º)

7- O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
Resposta: b

8- Expanda os valores complexos sob a forma f(r,ϴ)= rei ϴ:
a) f(z)= 2√2 + i2√2

Resp: 4(cos45o +isen45o )

b) f(z) = -3√3/2- i ½

Resp: 3(cos210 o+ isen210 o)

9- Expanda os valores dos seguintes logaritmos:
a)