Cálculo aplicado à administração

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CENTRO DE ESTUDOS SOCIAIS APLICADOS – CESA
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
DISCIPLINA: CÁLCULO APLICADO À ADMINISTRAÇÃO – EXERCÍCIOS
Fortaleza, 12 de Abril de 2012.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS
1. FUNÇÃO CONSTANTE
Seja y=f(x) = k, com k  . Então f’(x)=0.
2. FUNÇÃO IDENTIDADE
Seja y=f(x) = x, com x  . Então f’(x)=1.
3. PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO
Seja y=f(x) = K . u(x), com k  . Então f’(x)=K . u’(x).
4. FUNÇÃO SOMA ou DIFERENÇA
Seja y=f(x) = u(x)+v(x). Então f’(x)= u’(x)+v’(x).
Seja y=g(x) = u(x) – v(x). Então g’(x)= u’(x) – v’(x).
5. FUNÇÃO PRODUTO
Seja y=f(x) = u(x) . v(x). Então f’(x)= u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).
6. FUNÇÃO QUOCIENTE u(x) u '. v - u . v'
Seja y = f(x) =
, com v(x)  0 . Entãof' (x) = v(x) v²
7. FUNÇÃO POTÊNCIA n n–1
Seja y=f(x) = [u(x)] , com n  . Então f’(x) = n . u
.
8. FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL
Seja y=f(x) = Ln u(x), com u(x)>0. Então f’(x) =

u'
.
u

9. FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE CONSTANTE u(x) + u Seja y=f(x) = a , com a   . Então f’(x) = a . (Ln a) . u’
10. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA (Regra da Cadeia)
Sejam g:AB e f:BC funções deriváveis tais que y=f(t) e t=g(x). Então fog:AC, com y=f[g(x)], é derivável e: dy dy dt dy dt f ' (x)  y' = 
.

.
 f' (t). g'(x) dx dx dt dt dx

Exemplos para a derivada de função composta (Regra da cadeia)
a) Derivada de y=(3x² – 10)5
Fazendo t = g(x) = 3x² – 10  g'(x) 

dt
 6x ; dx dy
 5t4  5(3x² - 10) ; dt dy dy dt
Portanto, f ' (x)  y' = 
.
 5(3x² - 10)4 * 6x  30x(3x² - 10)4 dx dt d x
Fazendo y = f(t) = t5  f ' (t) 

b) Derivada de y  ln x

dt 1
;
dx x dy 1
1
Fazendo y  t  f ' (t) 


;
d t 2 t 2 ln x dy dy dt
1
Portanto, f ' (x)  y' = 
.
 dx dt d x 2x ln x
Fazendo t = g(x) = ln x  g'(x) 

1 2 
 x x

c) Faça você. Determine a derivada de y  e 2