Cálculo 2-derivadas parciais

CÁLCULO II

Derivadas de Funções de 2 Variáveis Prof. Guilherme Lima

1- Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é:

1.1- Interpretação geométrica da derivada parcial
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

1.2- Tabela de Derivadas

1.2- Tabela de Derivadas (cont.)

1.3- A técnica de Derivadas Parciais
A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. fx = ∂ f / ∂ x → y=constante fy = ∂ f / ∂ y → x=constante Ex.1- Derivar a função f(x,y) = 3 x3y2 Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2 Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 ) Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).

1.4- Solução

1.5- Taxas de variação

Ex.5- Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é dada por T(x,y) =10( x2 + y2 )2 . Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto P(1,2) na direção: a) do eixo das abscissas b) do eixo das ordenadas

Solução Ex.5
T(x,y)= 10(x4 + 2x2y2 + y4) b) ∂ T/∂ y= 40(x2y + y3) P(1,2)y = 400

a) ∂ T/∂ x= 40(x3 + xy2) P(1,2)x = 200