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4.3 Produto misto e o volume do paralelepípedo Dados 3 vetores ~u, ~v e ~w, o produto misto desses vetores definido como o escalar (~u × ~v) · ~w) e é denotado por [~u, ~v, ~w]. Se {~u, ~v, ~w} for base positiva, o produto misto [~u, ~v, ~w] representa o volume do paralelep´ıpedo de arestas ~u, ~v e ~w com v´ertice em um ponto A qualquer do espa¸co. ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✟✟✟✟✟✟✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✡ ✟✟✟ ✡ ✟✟ ✟ ✟✟✟✟✟✟ A B D C E F H G ~u ~w ~v ~u × ~v θ h De fato: Vimos que |~u × ~v| representa a ´area do paralelogramo da base ABCD, onde ~u = −−→AB e ~v = −−→AD. Al´em disso, a altura h ´e medida pela proje¸c˜ao ortogonal de ~w sobre ~u × ~v, sendo portanto h = ~w cos θ, onde θ = ∡( ~w, ~u × ~v). Ent˜ao o volume do paralelep´ıpedo ´e area(ABCD) · h = |~u × ~v|| ~w| cos θ = (~u × ~v) · ~w = [~u, ~v, ~w]. Se {~u, ~v, ~w} for base negativa, o produto misto [~u, ~v, ~w] ´e negativo e seu m´odulo ´e o volume 104 do paralelep´ıpedo. O produto vetorial ~u × ~v estar´a no semi-plano oposto ao do paralelep´ıpedo ABCDEF GH, em rela¸c˜ao `a base ABCD formada por ~u e ~v. Observe que {~u, ~v, −~w} ser´a base positiva e o paralelep´ıpedo correspondente a ela ter´a volume [~u, ~v, −~w]. Este paralelep´ıpedo tem o mesmo volume do anterior. Da propriedade de produto escalar, segue que o volume ´e −[~u, ~v, ~w]. Portanto, [~u, ~v, ~w] representa o volume do paralelep´ıpedo, a menos de sinal. Em coordenadas, se ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3), temos que [~u, ~v, ~w] ´e o determinante da matriz cujas linhas s˜ao as coordenadas dos vetores. De fato, [~u, ~v, ~w] = (~u × ~v) · ~w =   u2 u3 v2 v3 , − u1 u3 v1 v3 , u1 u2 v1 v2   · (w1, w2, w3) = = w1 u2 u3 v2 v3 − w2 u1 u3 v1 v3 + w3 u1 u2 v1 v2 = = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 . Consequentemente, [~u, ~v, ~w] = 0 se, somente se, {~u, ~v, ~w} l.d. Isto generaliza a defini¸c˜ao de volume do paralelep´ıpedo por produto misto para paralelep´ıpedos degenerados, lembrando que quando os vetores s˜ao l.d., o