CURVAS DE NIVEIS

Curvas de nível
Professor : Walmir E. Pottiter
Aluno: Fernando T. Niekawa
Curso: Licenciatura em química
Disciplina: Cálculo II

Curvas de Nível

Uma forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos supor que a superfície z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = k , e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy .
Essa curva tem equação f(x,y) = k e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k .

As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações da forma f(x,y) = k .
O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno.
Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z.
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, recebendo inclusive denominações específicas. Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas de isotérmicas ou isotermas.
 Se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y , as curvas são chamadas de isobáricas ou isóbaras.
 Se f(x,y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xOy então as curvas f(x,y) = k são chamadas equipotenciais.

Exemplo
Seja a função dada por z = x2 + y2

As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são: z = 0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) z = 1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1) z = 2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z = 4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2)
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam

Gráfico da Função (Parabolóide Elíptico)

Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente.

Exercícios resolvidos:
I) f(x, y) = x2 + y2

Curvas de nível
Seja a equação x2 + y2 = k.
Como x2 ³ 0 e y2 ³ 0 então se k < 0 a equação não tem