curvas continuas em R

Curvas continuas em ℝ
Em matemática, uma curva é, em termos gerais, um objecto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente recta. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajectória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objecto definido.

Curvas em

Vamos começar por discutir duas formula matemáticas da noção intuitiva de curva.
Daremos alguns exemplos de curvas de cada tipo e modos praticas de passar de um tipo para o outro. Já todos temos uma ideia, pelo menos intuitiva, de curva. Quando questionado para dar um exemplo de uma curva, o leitor pode dar uma linha recta, por exemplo
, ou uma circunferência, por exemplo , ou talvez uma parábola, por exemplo

Todas estas curvas são descritas por meio da sua equação cartesiana f(x, y) = c, onde é uma função de e , e é uma constante. Deste ponto de vista, uma curva é um conjunto de pontos:

Estes exemplos são todos de curvas no plano R2, mas podemos também considerar curvas em . Por exemplo, o eixo em é a recta dada por: e, mais geralmente, uma curva em pode ser definida por um par de equações

Curvas deste tipo são chamadas curvas de nível (pois, por exemplo, a curva em é o conjunto de pontos do plano nos quais a quantidade atinge o “nível” c). Existe um outro modo de pensar numa curva, mais útil em muitas situações. Consiste em olhar uma curva como o caminho traçado por um ponto a mover-se no espaço . Portanto, se é o vector de posição do ponto no instante , a curva é descrita por uma função de um parâmetro escalar com valores no espaço vectorial (caso a curva seja plana) ou em . Usamos esta ideia para dar a primeira definição formal de curva em . só nos interessa os casos (curvas planas) e (curvas espaciais), mas é conveniente tratar ambos os casos simultaneamente.
Definição. Uma curva parametrizada em é uma