CURSO DE GEOMETRIA ANALITICA

Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios, Lista 08 - Pontos e Retas no Espaço.

1. Sabendo que a distância entre os pontos A = (1, 2, 3 ) e B = ( 1, 1, m ) é igual a 12, calcular o valor de m e em seguida seu ponto médio.

Distância é modulo então: |B-A|=12
|1-(-1),-1-2,m-3|=12
|2, -3, m-3|=12
√2²+(-3)²+(m-3)²=12
√4+9+m² -6m+9=12 (eleva os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz)
(√4+9+m² -6m+9)² =12²
4+9+m² -6m+9=144 m²-6m+22-144=0 m²-6m-122=0
(Aplicar Bhaskara) m= 6 ± √524
2
(fatorando a raiz) m1=3+√131 ou m2=6-√131
Ponto Médio:
(XA+XB)/2, (YA+YB)/2, (ZA+ZB)/2
(-1+1)/2, (2+(-1))/2, (3+3+√131)/2
(0, ½, 3+√131) e (0, ½, 3-√131)
2. Dados os pontos A=(1, 2, 4 ), B=( 2, 3, 2 ) , C=( 2, 1, 1 ), determinar a área do Triângulo
ABC e a altura relativa ao ângulo A.

3. Dados os vértices da base deste tetraedro A=(2, 1, -1 ), B=( 2, 0, 1 ) e C=( 2, 1, -3 ).
Determinar as possíveis coordenadas do ponto D = ( x , y , z ), considerando que os pontos
A,B,C e D são coplanares.
Se os pontos são coplanares então não é possível existir um tetraedro pois o volume é zero.
4. Escrever, conforme cada caso, as equações das retas nas formas, Vetorial,
Paramétrica e
Simétrica para os casos a seguir:
a) Contem o ponto A=(1 , 1 , 1) e tem a direção do vetor v = ( 3 , -2 , 5);

b) Contem os pontos A=(1 , 1 , 1) e B=( 2, 3, -5);

c) Contem os pontos A=(3 , 2 , 1) e B=( 3, 1, -2);

d) Contem os pontos A=(1 , 1 , 1) e B=( 1, 1, -5);

e) Contem os pontos A=(-1 , 1/3 , -2) e B=( 3/4, -5, 2);

f) Contem o ponto A=(5, -2, 4) e é paralela à reta (x,y,z)=(3,2,7) +t(-2,3,-5);

g) (x-1)/2 = (3-y) = z;

h) (x,y,z)=(-3, 2, -1) +t ( -2, 0, 2);

i) (x,y,z)= t (3, -3, -2);