Cp2Aprof2014GeomAreasAULA1

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 1: Geometria Plana – Áreas

Propriedades Importantes de Áreas - RESUMO

Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela à base.

Propriedade 2: Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.

OBS: Quando duas figuras possuem mesma área, dizemos que elas são equivalentes. Portanto, o enunciado desta propriedade pode ser: Uma mediana divide o triângulo em dois outros equivalentes.

Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

a) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de 2 para 1.

Justificativa: Considerando a figura anterior, como M é médio de AB e N é médio de AC, teremos:

MN // AB e AB = 2.MN. De MN // AB, então MNG ~ ABG. Assim: AG = 2GM; BG = 2GN e CG = 2GP.

b) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de mesma área.

Justificativa: Pela propriedade 1 e 2, temos:

i) A1 = A2; A3 = A4 e A5 = A6.

ii) A1 + A2 +A3 = A4 + A5 + A6 => 2A1 + A3 = A3 + 2A5 => A1 = A5.

Logo, A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6.

Propriedade 3: Se dois triângulos têm mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases. A afirmação tem comprovação imediata a partir da fórmula que calcula a área do triângulo.

Propriedade 4: A razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Observe, na figura a seguir, dois triângulos semelhantes com bases a e a’ e alturas h e h’.

Exemplo 1. O triângulo ABC da figura abaixo tem área igual a 30. O lado BC está dividido em quatro partes iguais, pelos pontos D, E e F, e o lado AC está dividido em três partes iguais pelos pontos G e H. Qual é a área do triângulo GDE?

Exemplo 2. É dado um triângulo ABC e um ponto P do lado AC mais próximo de A que de C.