Conversão entre bases numericas

EQUIVALÊNCIA LÓGICA 1. DEFINIÇÃO Diz-se que uma proposição P(p, q, r,...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q, r,...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Notação P(p, q, r,...)  Q(p, q, r,...) Propriedades 1. Toda tautologia é equivalente a outra tautologia. 2. Toda contradição é equivalente a outra contradição. 3. Reflexiva: P  P 4. Transitiva: Se P  Q, e Q  R então P  R 5. Simétrica: Se P  Q,então Q  P Exercício exemplo: Demonstre as equivalências lógicas a seguir utilizando tabelaverdade a. p  p q  p  q c. p  q  (p  q) (q  p) Tautologias e equivalências lógicas Teorema – A proposição composta P é equivalente à proposição composta Q se, e somente se a bicondicional entre P e Q for tautológica. P  Q se, e somente se, P  Q é tautológica. Demonstração: i. Se P e Q são equivalentes, têm tabelas verdade idênticas, logo o valor lógico de sua bicondicional é sempre V, isto é, tautológica. ii. Reciprocamente, se a bicondicional é uma tautologia, sua última coluna encerra somente com a letra V, logo os valores lógicos de P e Q são ambos V ou ambos F, logo são idênticos (equivalentes). Portanto, toda equivalência lógica corresponde a uma bicondicional tautológica e vice-versa. Exercício: Demonstre as equivalências lógicas do exercício exemplo acima utilizando o teorema da bicondicional. 2. PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL Definição: dada uma condicional p q, chamam-se proposições associadas a p q as seguintes proposições: (a) Recíproca: p q : q p (b) Contrária (inversa): p q : ~p ~q (c) Contrapositiva (contra-recíproca): p q : ~q ~p Tabela-verdade p q V V V F F V F F b. p  q  ~p q d. p  q  (p  q) (~p  ~q)

~p F F V V

~q F V F V

p q V F V V

q p V V F V

~p ~q V V F V

~q ~p V F V V 1

Propriedades importantes: i. p q  ~q ~p (condicional e contrapositiva equivalentes – ver tabela verdade acima) ii. q p  ~p ~q (recíproca e