Controle

F6D370 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
Prof. Carlos Raimundo Erig Lima

7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS

7.1 Introduã a o
No caso de sistemas contınuos, um sistema sera esta vel se os po (da los funã ˜ o de transferencia em malha fechada) no plano s estiverem no semi-plano esquerdo. No caso de sistemas discretos, a localizaã ˜ o dos po los tambõ m determina a estabilidade do sistema. Para interpretar os po das equaã ü es de los em s, como por exemplo, na express˜ o 1+G(z)H(z)=0 õ preciso notar que a transformaã ˜ o esT mapeia o semiplano esquerdo do plano s em um cırculo de raio unita no plano z. rio S˜ o consideradas as seguintes varia veis complexas em cada plano:
• No plano contınuo :

s = σ + jw .

• No plano discreto: z = esT = eσT. ejwT, onde eσT õ o mo dulo e ejwT o argumento da funã ˜ o em z.

Logo o eixo jw do plano (σ=0) corresponde a uma circunferencia no plano z, o que õ representado na figura 7.1.
Plano z

Plano s jw w = (2n+1/2)π/T

Im

j2π/T

σ
- j2π/T

1

w = 2π/T

Re w = (2n+1)π/T

FIGURA 7.1 - Representaã ˜ o do mapeamento do plano s no plano z.

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Prof. Carlos Raimundo Erig Lima

As seguintes consequ encias podem ser apresentadas para z=esT:
• O eixo jw do plano s õ mapeado, no plano z, na circunferencia de raio unita rio z = 1 com centro na origem do plano z.
• A variaã ˜ o do úngulo w entre 0 e 2π corresponde, no plano z, a uma circunferencia completa que se repete com o perıodo w = 2 /T.
• Todo ponto do semi-plano esquerdo do plano corresponde a σ < 0 õ mapeado no interior do cırculo de raio z < 1 no plano z.
• Todo ponto do semi-plano direito do plano s corresponde a σ > 0 õ mapeado no exterior do cırculo z >1 no plano z.

Conclui-se que um sistema sera esta vel se todos os po los em malha fechada da funã ˜ o de transferencia em z est˜ o dentro do cırculo unita rio do plano z.

7. 2 An´lise de estabilidade de sistemas