contabilidade

Cap´ıtulo 13
Regra da Cadeia
13.1

Motiva¸ c˜ ao

A ´area A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento ´e dada por A = x2 . Podemos encontrar a taxa de varia¸c˜ao da ´area em rela¸c˜ ao `a varia¸c˜ ao do lado: dA = 2 x cm2 /cm dx Suponha, agora, que o comprimento do lado aumente com o tempo, segundo a lei x = 5 t + 2, onde t ´e dado em segundos. Ent˜ao, a ´area do quadrado em um determinado instante t, ´e dada por:
A = (5 t + 2)2 = 25 t2 + 20 t + 4
A ´area, portanto, ´e uma fun¸c˜ ao do tempo t, e podemos calcular a taxa de varia¸c˜ao da ´area em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao do tempo dA = 50 t + 20 cm2 /s dt Note a diferen¸ca entre as duas taxas de varia¸c˜ ao calculadas acima. Quando t = 10, x = 52 e dA = 520 cm2 /s dt e dA = 104 cm2 /cm dx Observe que neste exemplo a ´area A ´e uma fun¸c˜ao de x, isto ´e, A = A(x ) e x ´e uma fun¸c˜ao do tempo t, ou seja, x
= x (t). Temos, portanto, uma composi¸c˜ ao de duas fun¸c˜oes e a ´area pode ser entendida como uma fun¸c˜ao do tempo:
A(x (t)).
Repare, ainda, que podemos reescrever dA dt , assim: dA = 2(5 t + 2) 5 dt Observe que 2(5t + 2) = 2x =

dA dx e que
= 5. Logo, temos: dx dt dA dA dx
=
. dt dx dt

e conhecida como regra da cadeia para fun¸c˜oes compostas e nos fornece uma regra
Esta formula¸c˜ ao para dA dt ´ pr´atica para resolver problemas do tipo descrito acima, isto ´e, calcular a derivada de uma fun¸c˜ao obtida por composi¸c˜ao de outras fun¸c˜oes.
Usando a nota¸c˜ ao “linha” para derivadas, esta regra pode ser enunciada como:
(A o x)′ (t) = [A(x(t))]′ (t) = A′ (x(t)) x′ (t)

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Cap. 13. Regra da Cadeia

13.2

Derivadas de fun¸c˜ oes compostas: A Regra da Cadeia

Teorema: Regra da cadeia
Se uma fun¸c˜ao f ´e deriv´avel em x0 e g ´e deriv´avel em f (x0 )), ent˜ao, a composta h = g o f ´e deriv´avel em x0 e h′ (x0 ) = (g ◦ f )′ (xo ) = g ′ (f (xo )) f ′ (xo ).
Note que, embora a derivada de h = g o f seja o produto das derivadas de