construções geometricas

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 2

Prof. Élio Mega

A partir do século V aC, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intima-mente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria. É bom saber que os gregos antigos propuseram e resolveram muitos problemas de construção difíceis, mas não conseguiram resolver, ou melhor, não conseguiram provar que não tinham solução os três problemas conhecidos, respectivamente, como
(1) a trisecção de um ângulo
(2) a duplicação de um cubo
(3) a quadratura de um círculo consistindo em, usando apenas régua e compasso,
(1) dividir um ângulo dado qualquer em três partes iguais (ou seja, em três ângulos congruentes cuja soma é o ângulo dado)
(2) construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro do volume de um cubo cujo lado é dado
(3) construir um quadrado cuja área é a mesma de um círculo dado
Esses problemas foram enfrentados com sucesso apenas no século XIX, com a ajuda da Álgebra. Mas isto já é outra história. Com certeza você ainda irá ouvir bastante sobre esse assunto, em outras oportu-nidades.
Para resolver problemas de construções geométricas, além de lápis e papel, utilizam-se dois instrumentos para desenhar figuras: um compasso e uma régua (sem escala). O compasso será utilizado para desenhar circunferências e a régua, para traçar retas. Serão utilizadas apenas as seguintes operações (que se justificam pelos axiomas da Geometria Euclidiana):

O1. Traçar uma reta por dois pontos conhecidos.
O2. Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio.
O3. Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas circunfe-rências ou uma reta e uma circunferência).

Para simplificar as construções, é comum desenharmos arcos de circunferência em vez de