CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Universidade de São Paulo
USP

CONJUNTO
DOS
NÚMEROS REAIS

Trabalho de MAT 0315- Introdução à Análise

São Paulo
Novembro de 2012
Objetivos

A partir da introdução breve dos axiomas de corpo ordenado, axioma da completude, existência do supremo, cortes, intervalos encaixantes, será feito a elaboração de uma sequência didática aplicável no ensino médio, abordando o conjunto dos números reais com destaque para a caracterização de números racionais e irracionais, maneiras de distinguir irracionais de racionais e ideias de completude.
Os números
Os números podem ser alocados da seguinte forma: Naturais(N), Inteiros(Z),
Racionais(Q), Irracionais (R-Q) e Reais(R). Da forma como foi dita anteriormente percebe-se que os números são separados, ou seja, existem conjuntos específicos para cada um, os naturais são
{ 1,2,3....} , inteiros são {...,-2,-1,0,1,2,...}, os racionais são da forma {a/b com a inteiro e b inteiro diferente de zero}. Os números que não são racionais serão chamados irracionais e a união dos irracionais com os racionais será chamada de Reais. Alguns desses números possuem algo extraordinário, podemos fazer com eles operações aritméticas (Soma e Produto, nesse caso) e o resultado dessas operações continuara dentro desse conjunto, chamamos isso de fechamento das operações. Exemplo a soma de dois elementos de N está em N, 3+7 =10. Mas existem muitas propriedades para se verificar, o que acontece de fato é que uma noção importante de um
“conjunto de propriedades” é o que chamaremos de CORPO.
Um conjunto de números é dito um corpo se valerem os seguintes axiomas ou propriedades. Em relação às operações de soma e multiplicação.
A1) Associatividade da adição: Para todos x, y e z, tem-se (x + y) + z = x + (y + z).
A2) Existência de elemento neutro x + 0 = 0 + x = x.
A3) Existência do elemento oposto x + y = y + x = 0, sendo y= -x.
A4) Comutatividade da adição: x + y = y + x.
M1) Associatividade da multiplicação: x; y e z