Conicas

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com)
Última atualização: 14 de outubro de 2006

4 Mudança de Coordenadas
Translação e Rotação de Curvas no R²
Introdução
O enfoque dos 3 primeiros capítulos (do capítulo 5 a seguir será assim também) foi de argumentos geométricos para resoluções de questões de seções cônicas. O propósito foi mostrar uma saída alternativa (em muitas vezes mais prática) para soluções de problemas usando geometria analítica. Nesse capítulo nos afastaremos um pouco dessa abordagem, voltando um pouco ao algebrismo analítico para que possamos estudar um assunto importante: Mudança de Coordenadas.

4.1 Translação de Eixos
Consiste em criar um novo sistema de eixos (de mesma natureza, ortogonal ou não), simplesmente transladando a sua posição em relação à original.
Note que, na figura ao lado, um ponto no plano pode ser localizado por suas coordenadas em relação a um referencial.
O mesmo ponto pode ter pares de coordenadas diferentes, dependendo do referencial tomado.

D enotaremos o sistema de eixos original por xoy, e o novo por x´oy´. Como relacionar os pares de coordenadas de eixos transladados? Seja (a,b) o par das coordenadas da nova origem do sistema x´oy´ em relação ao sistema xoy.

Da figura ao lado:

xo

a

xo

yo

b

yo

Ou ainda:

xo

xo

a

yo

yo

b

(Equações de Translação de Eixos)

Aplicações: Construção de gráficos
A translação de eixos pode nos ajudar a construir gráficos:
Ex: y

(x

1)²

Conhecemos o gráfico de y x ² (uma parábola com vértice na origem). Com a translação de eixos, para um sistema cuja nova origem seja em
(1,0), podemos

identificar o gráfico de

y

(x

1)²

Ex 2:

(x

1)²

(y

4

3)²
9

1

Elipse transladada:

x ²
4

y ²
9

1

4.2 Eliminação dos termos lineares de uma curva no R²
Qualquer curva do tipo cônica, ou suas degenerações podem ser descritas por uma equação, como já vimos. A