Congruências

Filipe Rodrigues de S. Moreira
Graduando em Engenharia Mecânica –
Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)
Agosto 2006

Congruências Lineares
Introdução
A idéia de se estudar congruências lineares pode vir a facilitar (e muito) a vida de um estudante, na hora de resolver questões de Teoria dos Números e até Polinômios.
Esse assunto merece uma atenção especial, pois em geral os livros que estão no mercado, mostram do que se trata, porém vão logo para uma abordagem mais abrangente e acabam saindo do foco de um aluno que não se interessa pelo assunto como estudo puro e sim está apenas buscando, alternativamente, outra ferramenta para resolver questões de vestibulares mais rebuscados como IME e ITA. Esse artigo tem por objetivo atender a necessidade de bons alunos que não se interessam por Olimpíadas de
Matemática (puro e simplesmente), mas querem descobrir novos métodos para tornar simples questões difíceis, que à priori exigiriam muito raciocínio e genialidade.

Definição da palavra e notação
Dizemos que dois números inteiros são congruentes, em relação a algum outro, quando deixam o mesmo resto na divisão por esse outro, ou seja, diz-se que “a é congruente a b módulo m” quanto tanto “a” quanto “b” deixam o mesmo resto na divisão por “m”. Veja a notação usual: a ≡ b (mod m) . Aplicando!!!!
12 ≡ 2 (mod 5) , pois 2 é o resto da divisão de 12 por 5.
12 ≡ 7 (mod 5) , pois 7 e 12 deixam o mesmo resto na divisão por 5.
24 ≡ 3 (mod 7) , pois 3 é o resto da divisão de 24 por 7.
28 ≡ 1 (mod 9) , pois 1 é o resto da divisão de 28 por 9.
Veja esse último exemplo....sabe-se que 28 = 9.3 + 1 , mas por que não escrevermos que 28 = 9.4 − 8 ? Sendo assim, o resto da divisão de 28 por 9 poderia ser
“-8”. De fato, na divisão Euclidiana, isso não é permitido, pois se trata do menor resto positivo, porém, podemos trabalhar com restos negativos na teoria de congruência, ou seja, é possível escrever que 28 ≡ −8 (mod 9) . Acredite! isso vai tornar a sua