Congegração racial

UNIFACS – Universidade Salvador
Disciplina: Cálculo III
Curso: Engenharias
Professora: Ilka R. Freire

Texto 07 : Solução Particular da Equação Linear de 2a Ordem Completa

Vimos que a solução geral da equação y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x) é dada por y = yh + yp, sendo yh a solução geral da homogênea associada (y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = 0 ) e yp uma solução particular da equação completa y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x).

No caso da equação homogênea a coeficientes constantes já sabemos como encontrar yh. Veremos agora dois métodos para encontrar uma solução yp de y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x)

1o Método: Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)

O método da Variação dos Parâmetros , para a determinação de uma solução particular de uma equação linear completa, é geral e pode ser aplicado para equações lineares com coeficientes variáveis. Vamos analisar o caso de uma equação de 2a ordem.

Consideremos a equação ( I ). Suponhamos que é a solução geral da equação homogênea associada. Vamos procurar yp fazendo a hipótese que toda solução particular deve estar relacionada com a expressão de yh. Procuramos então "alterar" yh de tal modo que ela se torne solução de ( I ).
Isto pode ser conseguido deixando que os parâmetros C1 e C2 "variem" na "esperança" de encontrarmos uma solução da forma ( II ) que escreveremos simplesmente , para facilitar a notação. Vamos, portanto,substituir ( I I ) em ( I ) para ver o que acontece. Temos que:

Substituindo yp , yp ' e yp '' em ( I ):

Rearrumando a expressão obtemos:

Observemos que os dois primeiros parênteses são nulos, uma vez que y1 e y2 são soluções de
. Além disto, o último parênteses pode ser escrito como
. Ficamos assim, com a seguinte expressão:

A identidade acima estará satisfeita se impusermos as seguintes condições:

Podemos interpretar as duas equações acima como um