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LISTA DE EXERCÍCIOS DE COMPOSIÇÃO E INVERSÃO DE FUNÇÕES - GABARITO
(Livro Fundamentos da Matemática Elementar – G. Iezzi e C. Murakami)

1) Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fog(x) = gof(x).

Solução. i) fog(x) = f(x4) = (x4)3 = x3x4 = x12.

ii) gof(x) = g(x3) = (x3)4 = x4x3 = x12.

2) Sejam [pic] e [pic]. Determine os domínios das funções fog(x) e gof(x).
Solução. i) fog(x) = f(2x2 – 5x +3) = [pic]. O domínio dessa função será o conjunto dos valores de x positivos. Basta resolvermos a inequação do 2º grau: [pic] As raízes da equação podem ser encontradas utilizando qualquer método.

a = 2 b = -5 c = 2 b2 - 4(a)(c) = (-5)2 – 4(2)(2) = 25 – 16 = 9. Logo, temos:
[pic]. Logo as raízes serão: x = 2 e x = 1/2. Pelo estudo dos sinais, sabemos que a concavidade da parábola é para cima e os valores negativos estão entre as raízes. Observe.

ii) gof(x) = [pic]. Substituindo [pic]=y, temos: gof(x) = 2y2 - 5y +3, cujas raízes são: y = 3/2 e y = 1.
- Se y = 3/2, [pic].
- Se y = 1, [pic].

3) Considere as funções: f(x) = 2x + b e g(x) = ax + b. Determine o conjunto C dos pontos (a,b)( R2 tais que fog = gof.

Solução. Se fog(x) = gof(x), então f(ax + b) = 2(ax + b) +b = 2ax + 2b + b = 2ax + 3b deve ser igual ao valor de gof(x) = g(2x + b) = a(2x + b) +b = 2ax +ab + b. Logo, temos:
2ax + 3b = 2ax + ab + b. Cancelando os termos (2ax), temos que 2b = ab, implicando que a=2. Logo o conjunto dos pontos é da forma (2,b), com b ( R.

4) Dadas as funções f(x) = 2x + m e g(x) = ax + 2, qual a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha a igualdade fog(x) = gof(x)?

Solução. i) fog(x) = f(ax + 2) = 2(ax + 2) + m = 2ax + 4 + m ii) gof(x) = g(2x + m) =