complexos 1

Professor: Cassio Kiechaloski Mello
Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____
Turma:____________ Data:__________

NÚMEROS COMPLEXOS (C)
Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma:

− b ± b 2 − 4ac 6 ± 6 2 − 4 × 1× 13 6 ± 36 − 52 6 ± − 16
=
=
=
2a
2 ×1
2
2
Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível no conjunto ℜ
A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o quadrado de um número fosse negativo.
Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus).
Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na resolução de equações de 3º grau. x= UNIDADE IMAGINÁRIA
É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou i 2 = − 1
Exemplo:
6 ± − 16 6 ± 16 * (−1) 6 ± 4 − 1
=
=
. Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i
2
2
2

Exercício:
Resolver, em C:
a) x² + 1 = 0
b) x² - 4x + 5
c) x² - 4x + 29
d) x² - 6x + 25

POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA

i0 = 1

4

= i 2 × i 2 = (−1) × (−1) = 1

i1 = i

i 5 = i 4 × i = 1× i = i

i 2 = −1

i 6 = i 4 × i 2 = 1× (−1) = −1

i 3 = −i

i 7 = i 5 × i 2 = i × (−1) = −i

As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in, basta calcular ir, onde r é o resto da divisão de n por 4. in = ir

Exercícios:
a) i9

b) i7

e) i14

f) i1357

c) i28

g)

d) i12

i 25 + i10 i 20

FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária do número.
Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i
Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i
Subtração: Z – W = (a –