Coletanea01 07

Sociedade Brasileira de
Matemática
Olimpíada Brasileira de
Matemática

PROGRAMA DE
EDUCAÇÃO
TUTORIAL

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE
COLETÂNEA DE PROBLEMAS NO 01 - 2007

Problema 1
Dado um conjunto X, dizemos que dois subconjuntos de X, S e T, constituem uma partição de X se X = S ∪ T, com S ∩ T = ∅.
Os subconjuntos S = {1, 4} e T = { 2, 3} constituem uma partição de X = {1, 2, 3, 4} e ainda satisfazem duas propriedades:
i. S e T têm a mesma quantidade de elementos; ii. a soma dos elementos de S é igual a soma dos elementos de T.
(a) Diga, justificando, qual é o próximo número natural n, maior do que 4, para o qual o conjunto X = {1, 2, 3, ...,n} tem uma partição, S e T, satisfazendo as propriedade i. e ii., acima descritas.
(b) Resolva o item (a) com a propriedade adicional: iii. a soma dos quadrados dos elementos de S é igual a soma dos quadrados dos elementos de T.
(c) Nathália diz que pode fazer uma partição do conjunto X = {1, 2, 3, ..., 16} em dois subconjuntos, S e T, com as propriedades i., ii. e iii., acima descritas, e com a propriedade adicional: iv. a soma dos cubos dos elementos de S é igual a soma dos cubos dos elementos de
T.
Mostre que Nathália está certa.
(d) Marina diz que pode fazer uma partição do conjunto X = {1, 2, 3, ...8}, de modo que satisfaça as propriedades i., ii., iii. e iv.
Explique porque você não concorda com Marina.
Problema 2
Defina uma nova operação, ∗ , entre dois quaisquer inteiros positivos, satisfazendo as três propriedades seguintes: x ∗ ( x + y) x
(i) x ∗ x = x + 2
(ii) x ∗ y = y ∗ x
(iii)
= x∗ y y Encontre o valor de: 11 ∗ 8.

Problema 3
10

No quadrado unitário central de um tabuleiro 3 x 3, veja figura acima, escreve-se o número 10. Os quadrados unitários restantes devem ser preenchidos com 8 dos dígitos de
1 a 9, usando cada um uma única vez e de modo que a soma em qualquer linha e em qualquer coluna do tabuleiro (mas não necessariamente nas diagonais) seja igual a 16.
(a) Complete o