Ciência tecnológica

A Derivada e as Regras de Derivação
O principal objetivo desta unidade é torná-lo familiar com o conceito de derivada, suas propriedades operatórias e suas aplicações na resolução de problemas. Após completá-la, você deverá estar apto a:
(a) relacionar a derivada de uma função com a taxa de variação da mesma em relação à sua variável independente;
(b) determinar a derivada de uma dada função, usando o processo limite;
(c) determinar a derivada de uma função polinomial, racional, trigonométrica, exponencial natural ou logarítmica natural, usando as propriedades operatórias da derivada; (d) determinar a derivada da potência de uma função;
(e) determinar derivadas sucessivas de uma dada função;
(f) identificar a derivada segunda da função deslocamento de um móvel, com a aceleração do mesmo;
(g) aplicar as regras de derivação na resolução de problemas que envolvem taxa de variação. A Definição de Derivada
Na unidade anterior, mostramos que se x e y são duas variáveis relacionadas por uma equação y f x , então a taxa de variação instantânea de y em relação a x quando x tem o valor x 1 é dada por y f x1 x f x1 lim lim
(3.1.1)
x x x0 x0 Por outro lado, mostramos ainda, que o coeficiente angular m da tangente ao gráfico da f no ponto x 1 , f x 1 também é dado por f x1 x f x1 m lim
(3.1.2)
x x0 e que a velocidade instantânea de um móvel cuja equação do movimento é d f t , num tempo t x 1 , é dada por f x1 x f x1 v lim
.
(3.1.3) x x0
Assim, o problema de encontrarmos a taxa de variação de uma variável em relação à outra, o problema de encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente a um gráfico e o problema de determinar a velocidade instantânea, são todos resolvidos pelo cálculo do y aparecem com tanta freqüência em cálculo que é mesmo limite. Limites da forma lim x x0 necessário introduzir uma notação e uma terminologia especial para eles. Trata-se da derivada da função f, que aqui simbolizaremos por f . Assim,