Centro de massa

T EMA

ESPECIAL

— CENTRO DE MASSA

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O s Fu n d a mentos da F í si ca
(8 a edição)

RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO
Tema especial
CENTRO DE MASSA
1. 2. 3. 4. 5.
Centro de gravidade e centro de massa, 1 Propriedade da concentração de massas, 3 Propriedade de simetria, 4 Velocidade do centro de massa, 7 Aceleração do centro de massa, 7

1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA
Editora Moderna Ltda.

Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P1 e P2, localizados num eixo horizontal Ox. Sejam x1 e x2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox, de abscissa xC, em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P1 e de P2. x2 xC x1 1

C m2 2 x P2

O

m1 P1 d1
Figura 1.

MP1 MP2 0 P1d1 P2d2 0 P1d1 P2d2 P1(xC x1) P2(x2 (P1 P2)xC P1x1 xC P1x 1 P1 P2 x 2 P2

xC) P2x2

d2

O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos materiais 1 e 2. Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, suspendendo-se a barra pelo ponto C, o sistema fica em equilíbrio (figura 2). Considerando no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a aceleração da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2, respectivamente, temos: P1 Substituindo-se as expressões xC 1 m1 P1

C

2

m2
P2

Figura 2.

m 1g

e P2

m 2g , temos: xC m1x 1 m1 m2 x 2 m2

e m1gx 1 m1g

na expressão m2 gx 2 m2 g

⇒

Neste caso, o centro de gravidade chama-se também centro de massa.

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O S F U N DA M E N TO S z m1 m2 0

DA

FÍSICA

Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, ..., mn e de coordenadas cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn) que definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a posição do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas (xC, yC, zC), dadas por:

mn mi zi xi y

xC

m1x 1 m2 x 2 m1 m2

... ...

mi x i ... mn x n ou x C