cauchy-schwarz

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A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Esta desigualdade conhecida também por desigualdade de Cauchy ou desigualdade de Schwarz é muito útil e aparece em vários contextos da Matemática, tais como em Álgebra Linear aplicando-se à vetores, em Análise ela surgiu nas séries infinitas e no produto de integrais, e na Teoria de Probabilidades a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplica-se na variância e na covariância.
Esta desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy , enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz . Para ver uma prova sem palavras desta desigualdade no , (click aqui).

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Para quaisquer vetores e de um espaço vetorial com produto interno, temos

e a igualdade é válida se e somente se os vetores e são linearmente dependentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy , enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz .

Demonstração: Uma prova clássica é considerar a função para . Note que para qualquer valor de . Além disso, pela propriedade de produto interno, temos

Sendo uma função quadrática não-negativa, segue que o discriminante ou seja,

donde segue o resultado. Da definição de linearidade de dois vetores, a segunda parte segue os mesmos passos acima.

Vejamos algumas aplicações desta importante desigualdade.

Prove a desigualdade triangular: .

Demonstração:

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, , de modo que

donde segue o resultado.

2) Prove a desigualdade , sendo .
Resolução: Basta aplicar e na desigualdade de Cauchy-Schwarz acima. Outras aplicações serão apresentadas futuramente.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 12:26
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