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TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A TRELIÇAS

Como os elementos (barras) de uma treliça estão submetidos à carga axial, a energia de deformação é dada pela equação Ui=N²L/2AE. Substituindo essa equação na (INSERIR NÚMERO DA EQUAÇÃO 14.47 AQUI) e omitindo o índice i, temos:

∆ =∂∂PN²L2AE 1

Como é mais simples fazer a derivação antes da soma e sabendo que L, A e E são constantes para uma determinada barra, podemos escrever a equação (1) da seguinte forma:

∆ =N∂N∂PLAE (2)

Onde:
∆ = deslocamento do nó da treliça
P= força externa de intensidade variável aplicada ao nó da treliça na direção de ∆
N= força axial interna em um elemento, provocada tanto pela força P quanto pelas cargas sobre a treliça
L= comprimento de um elemento
A= área da seção transversal de um elemento
E= módulo de elasticidade do material

Para a determinação da derivada parcial ∂N∂P é necessário tratar P como variável e não como um valor específico. Em outras palavras, cada força axial N deve ser expressa em função de P.

É possível notar uma grande semelhança entre a equação (2) com a usada no método do trabalho virtual, tendo como diferença o termo n que é substituído por ∂N∂P, no entanto, esses termos serão os mesmos, uma vez que representam a taxa de mudança da força axial interna em relação à carga P ou, em outras palavras, a força axial por carga unitária.

TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A VIGAS

A energia de deformação interna de uma viga é provocada tanto pela flexão (momento fletor) quanto pelo cisalhamento. Entretanto, se a viga for longa e esbelta, a energia de deformação devido ao cisalhamento é desprezível quando comparada com a provocada pela flexão. Nesse caso, a energia de deformação interna da viga é dada por Ui=M²dx/2EI. Substituindo tal expressão na Equação 14.47 e omitindo o índice i, temos:

∆ =∂∂P0LM²dx2EI (3)

Como é mais simples diferenciar antes da integração e, desde que E e I sejam constantes, temos:

∆ =0LM∂M∂PdxEI (4)

Onde:
∆ =