Caracteristicas Geom tricas das Figuras Planas parte II Mec nica Geral UniSanta Prof

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS.
Rotação de Eixos
(Nóbrega, 1980)(Almeida,1993)
Determinemos os momentos e produtos de inércia em relação a novos eixos rodados OU e OV, aos momentos e produtos de inércia em relação aos eixos primitivos OX e OY e o ângulo de giro a.

Da figura temos: u = x.cosa + y.sena v = -x.sena + y.cosa

O momento de inércia em relação ao eixo OU é:
IU = ò v2dA
Substituindo a equação da coordenada v em IU, temos:
IU = ò(-x.sena + y.cosa)2.dA ¾ portanto:
IU = cos2a.òy2.dA +sen2a.òx2.dA - 2.sena.cosa.òx.y.dA onde: IU = Ix. cos2a + Iy. sen2a - 2.sena.cosa.Ixy ¾ lembrar que: sen2a = 2.sena.cosa
Logo:
IU = Ix. cos2a + Iy. sen2a - sen2a.Ixy
Analogamente:
IV = Ix. sen2a + Iy. cos2a + sen2a.Ixy
O cálculo do Produto de Inércia IUV, será:
IUV = (Ix - Iy).sena.cosa +Ixy.cos2.a
Simplificando a equação: IUV = (Ix - Iy).sen2a/2 +Ixy.cos2.a
Somando as equações IU e IV temos:
IU + IV = Ix + Iy
*Válido também para os eixos baricêntricos.

Exemplo 20:
(Prova RM1, 1997)
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo A (IA).
Resposta:
IA = 92,44x10-8 m4

Exercício 20:
(Lista de mecânica geral, 1998)
Calcular o momento de inércia para o eixo AA da figura:
Resposta:
Ix = 28,33 cm4
Iy = 200,21 cm4
Ixy = -64,14 cm4
IA = 101,34 cm4

Eixos Centrais de Inércia (Demonstração)
(Nóbrega, 1980)
Da equação da rotação de eixos IU, utilizaremos para os eixos baricêntricos:
IU = Ixg.cos2a + Iyg.sen2a - Ixgyg.sen2a
Das relações trigonométricas sen2a = (1 - cos2a)/2 e cos2a = (1 + cos2a)/2 Þ A equação de IU transforma-se:
IU = {(Ixg +Iyg)/2} + {[(Ixg - Iyg).cos2a]/2} - Ixgyg.sen2a
Eixos Centrais de Inércia são eixos em relação ao quais os momentos de inércia são máximos e mínimos (momentos principais de inércia).
Aplicando a derivada em função de a, determinaremos os extremos. dIU/da = (Iyg - Ixg).sen2a - 2.Ixgyg.cos2a = 0 onde: tg2a = 2.Ixgyg/(Iyg-Ixg)
Dessa equação de obtêm: 2a2 - 2a1 =p e a2 - a1 = p/2
Portanto duas direções perpendiculares entre