Capsolutuion guidorizzi vol 2 cap

CAPÍTULO 4
Exercícios 4.1
1.
a) Dizemos que f é uma função densidade de probabilidade se
i) f(x) у 0, ᭙x ii) ϱ

ÚϪϱ f ( x ) dx ϭ 1.

Seja f ( x ) ϭ k eϪx 2 para x у 0 e f(x) ϭ 0, para x Ͻ 0.
De i segue que k Ͼ 0. ϱ Agora

ÚϪϱ

f ( x ) dx ϭ

ϱ

Ú0

f ( x ) dx ϭ

ϱ

Ú0

È keϪx 2
2
kxeϪx dx ϭ ÍϪ
2
ÍÎ

ϱ

ù k ú ϭ
2
úû
0

k ϭ 1 Þ k ϭ 2.
2

De ii segue:

c) De i segue que kx (x Ϫ 5) у 0.
Como 0 р x р 5, temos x Ϫ 5 р 0 e k р 0.
5

De ii segue

Ú0 kx( x Ϫ 5) dx ϭ 1.

5

5

Ú0

5

Ú0

Logo,

125k 125k
6
Ϫ ϭ 6 Þ Ϫ125k ϭ 6 Þ k ϭϪ
3
2
125

kx 2 dx Ϫ

Ú

d) De i, como 1 ϩ 4x2 у 0, devemos ter k у 0.
De ii vem

ϱ

ÚϪϱ 1ϩ 4 x 2 dx ϭ 1 Þ k [arctg 2 x]Ϫϱ ϭ 2. k ϱ

Mas k [arctg 2 x ]Ϫϱ ϭ k␲ , logo k␲ ϭ 2 ϱ e kϭ

2. a) ϱ Ú400 kxϪ2 ϭ 1

[

Þ ϪkxϪ1

]ϱ400 ϭ 1

Þ

5

È x3 ù
È x2 ù
5k dx ϭ k Í ú Ϫ 5k Í ú
0
Î 3 û0
Î 2 û0
5

Agora,

kx ( x Ϫ 5) dx ϭ

k ϭ Þ
400

2
.
␲ k ϭ 400

b)

d)

1000

1000

400 ù 400 xϪ2 ϭϪ 400 xϪ1 ú ϭϪ ϩ 1 ϭ 0, 6
1000
û 400

5000

400
400
3 ù 400 xϪ2 ϭϪ 400 xϪ1 ú ϭϪ ϩ ϭ 5000 2000 25 û 2000

Ú400

Ú2000

Logo,

5000

3
◊ 3200 ϭ 384.
25

Exercícios 4.2
1.
x

a) De F(x) ϭ

ÚϪϱ f (t ) dt (função de distribuição) segue que

F(x) ϭ 0 x F(x) ϭ
5
F(x) ϭ 1

se

xϽ0

se

0рxр5

se

xϾ5

Observamos que

lim F( x ) ϭ 0 e

x ÆϪϱ

lim F( x ) ϭ 1

x Æϩϱ

c) Seja a função de densidade de probabilidade
1
f ( x ) ϭ eϪȊxȊ para todo x real.
2
Temos
Ï 1 e x se
Ô
f ( x) ϭ Ì 2
1
Ô eϪx se
Ó2

xр0 x Ͼ 0.

Logo,
F( x ) ϭ

e
F( x ) ϭ

x

1

0

1

x

ÚϪϱ 2 et dt ϭ 2 SÆlimϪϱ ÚS et dt ϭ 2 e x se x р 0
1

x

ÚϪϱ 2 et dt ϩ Ú0

1

eϪx
1 Ϫt
1 eϪx
1
e dt ϭ Ϫ ϩ ϭ1 Ϫ se x Ͼ 0 .
2
2
2
2
2

Portanto,
Ï 1 ex se x р 0
Ô
F ( x ) ϭ Ì 2 Ϫx e Ô1 Ϫ se x Ͼ 0.
2
Ó

27

2. f ( x ) ϭ FЈ( x ) ϭ
Então, f ( x ) ϭ

d dx È 1 2x 1 ù 1
2x
Í ␲ Ϫϱ 1 ϩ t 2 dt ú ϭ ␲ (1 ϩ 4 x 2 ) (2 x )Ј ϭ ␲ (1 ϩ 4 x 2 ) .
Î
û

Ú

2 é a função densidade de probabilidade.
␲ (1 ϩ 4 x 2 )

Exercícios 4.3
1.
a) E( X ) ϭ

ϱ

ÚϪϱxf ( x ) dx.

Ï 1 se a р x р b
Ô
Sendo f ( x ) ϭ Ì b Ϫ a
ÔÓ0
se x Ͻ a e x Ͼ b
Temos

E( X ) ϭ

b

Úa

x◊ b 1
1
dx