Cap5

5

FUNÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

Dada uma variável aleatória contínua X com função de densidade f (x). Considerando
Y = g(X), uma função de X, também é uma variável aleatória. A definição da variável Y como função de X é conhecida coma transformação de uma variável aleatória. A palavra "transformação"é utilizada porque quando uma nova variável aleatória Y é especificada como uma função de uma dada variável aleatória X, então a função de distribuição F(x) fica transformada na função de distribuição da nova variável Y . Assim, o espaço induzida (Ω, F, PX ) fica modificada por ter uma distribuição adicional,F(y). Em alternativa, a transformação pode ser visto como resultado de um novo espaço induzido, (Ω, F, PY ).
Assim, quando temos Y = g(X) é interessante conhecer a função de distribuição e função de densidade da variável aleatória Y .

5.1

MÉTODO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO

Seja X uma variável aleatória contínua, com função de distribuição FX (x). Qualquer função
Y = g(X) também é uma variável aleatória. Considerando a função g(X) é inversível, temos que em que X = h(Y ) = g−1 (Y ) Então a função de distribuição de Y é
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ h(y)) = FX (h(y))
Assim é possível obter a função de distribuição acumulada de Y e para obter a função de densidade basta fazer a derivada dFY (y) fY (y) = dy Exemplo 5.1: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: f (x) =

1
2

−1 ≤ x ≤ 1
0 caso contrário

Seja Y = X 2 , determine a função de densidade de Y .

Funções de variável aleatória

2

Temos que
√
√
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X 2 ≤ y) = P(− y ≤ X ≤ y)
√
y 1
=
dx
√
− y2
1
x
=
2
√
y
=

√ y 1 √ √
= ( y + y)
√
2
− y

Assim, temos que a função de distribuição de Y , é dada por
FY (y) =

√ yI[0,1] (y) + I(1,∞) (y)

Derivando a função de distribuição temos fY (y) =

dFY (y)
1
= √ I[0,1] (y) dy 2 y

Exemplo 5.2: Seja X uma variável aleatória com função de densidade e função de distribuição dada por:

f (x) =

1
3

se 0 ≤ x < 3
0 caso