cap3

Modelo de Competição entre Espécies
Anny Mirleni Almeida Silva - RA: 151542
13 de Dezembro de 2013
Modelo de Lotka-Volterra para Competição entre duas Espécies
Neste modelo duas espécies vão competir entre si pela mesma fonte de alimentação, pelo mesmo território, pelos mesmos recursos ou, de algum modo vão inibir o crescimento da outra. Para este modelo, vamos considerar N1 e N2 como duas espécies em iteração com competição.

• Parâmetros
a) r1 - Taxa de crescimento intríseca da espécie 1.
b) r2 - Taxa de crescimento intríseca da espécie 2.
c) K1 - Capacidade de suporte para a espécie 1.
d) K2 - Capacidade de suporte para a espécie 2.
e) β12 - Taxa de declínio percapta alcançada pela espécie 2 em população de espécie 1.
f) β21 - Taxa de declínio percapta alcançada pela espécie 1 em população de espécie 2.

• Modelo r1 N1 (K1 − N1 − β12 N2 )
= F (N1 , N2 )
K1

 dN1 


 dt

=




 dN2 dt r2 N2 (K2 − N2 − β21 N1 )
=
= G(N1 , N2 ).
K2

(1)

Admensionalisação do Modelo
De forma a se obter as equações do sistema acima em sua forma admensional, vamos considerar os seguintes parâmetros de adimensionalização: α1 =

N2 r2 K2
K1
N1
; α2 =
; τ = r1 t ; ρ =
; a12 = β12 e a21 = β21
K1
K2 r1 K1
K2
1

Substituindo estes parâmetros no sistema (1),podemos escrevê-lo da seguinte forma: 

 dα1
= α1 (1 − α1 − a12 α2 ) = F (α1 , α2 )

 dτ
(2)


dα2


= ρα2 (1 − α2 − a21 α1 ) = G(α1 , α2 ). dτ 1

Isóclinas

Para encontrar as isóclinas do sistema (2), façamos F (α1 , α2 ) = 0 e G(α1 , α2 ) =
0. Assim, temos

e

2

dα1
=0
dτ

=⇒

α1 = 0 ou 1 − α1 − a12 α2 = 0,

dα2
=0
dτ

=⇒

α2 = 0 ou 1 − α2 − a21 α1 = 0.

Determinação dos Pontos Estacionários

Para este modelo, encontramos quatro pontos estacionários.
a) Trivial : P0 = (α¯1 , α¯2 ) = (0, 0);
b) Espécie 1 vence, então α2 = 0, logo : P1 = (1, 0);
c) Espécie 2 vence, então α1 = 0, logo :P2 = (0, 1);
d)