cap10 volume 3 guidorizzi resolução

CAPÍTULO 10
Exercícios 10.1
1. Sejam B ϭ {(x, y, z) ʦ ‫ޒ‬3 Ȋ x у 0, y у 0 e 0 р z р 1 Ϫ x Ϫ y}, ␴ a fronteira de B e r r r r
F ( x, y, z ) ϭ xi ϩ yj ϩ zk .
Temos

r r r
␴(u, v) ϭ (u, v, 1 Ϫ u Ϫ v) e Ѩ␴ ٙ Ѩ␴ ϭ i ϩ j ϩ k .
Ѩu
Ѩv

ÚÚ␴

r r
F ◊ n dS ϭ

Ѩ␴
Ѩ␴
ٙ r Ѩ v ◊ Ѩ␴ ٙ Ѩ␴ du dv
F(␴ (u, v)) Ѩ u
Ѩ␴
Ѩ␴
Ѩ44
u 42
Ѩ v444
K
1
3
ٙ dS Ѩ u Ѩ v 14
4244
3

ÚÚ

r n ou seja, r r
F ◊ n ds ϭ

ÚÚ␴

Então,

r r r r r r
(ui ϩ vj ϩ (1 Ϫ u Ϫ v) k ) ◊ (i ϩ j ϩ k ) du dv ϭ

ÚÚK
1
ϭ ÚÚ du dv ϭ , pois K é o triângulo u у 0, v у 0, u ϩ v р 1.
K
2

r r
1
F ◊ n dS ϭ .
2
␴

ÚÚ

Por outro lado, r div F dx dy dz ϭ 3
23
B1

ÚÚÚ

3

ÚÚÚB dx dy dz ϭ

È 1Ϫ x Ϫ y ù
(1 Ϫ x Ϫ y) dy dx, onde A é o dz ú dy dx ϭ 3
A
û triângulo x ϩ y р 1, x у 0 e y у 0.

ϭ3

ÚÚA ÍÎÚ0

r

2.

1 È 1Ϫ x

ÚÚÚB div F dx dy dz ϭ 3Ú0 ÍÎÚ0 ϭ3 ÚÚ

ù
(1 Ϫ x Ϫ y) dy ú dx ϭ û 1
(1 Ϫ x )2 dx ϭ .
2
2
0

Ú

1

Comparando ቢ e ባ segue:

r r

r

ÚÚ␴ F ◊ n dS ϭ ÚÚÚB div F dx dy dz.
Sejam ␴(u, v) ϭ (u, v, 4 Ϫ u2 Ϫ v2), u2 ϩ v2 р 1, ⌫(t) ϭ (cos t, sen t, 3), 0 р t р 2␲ r r r e F( x, y, z ) ϭ i ϩ ( x ϩ y ϩ z ) j .
a)

b) Temos:

r i r
Ѩ
rot F ϭ
Ѩx
1

r j Ѩ
Ѩy
xϩ yϩ z

r k r r
Ѩ
ϭϪi ϩ k e
Ѩz
0

r r r
Ѩ␴
Ѩ␴
ٙ
ϭ 2ui ϩ 2 vj ϩ k .
Ѩu
Ѩv

Então,
ቢ

ÚÚ␴

Ѩ␴
Ѩ␴
ٙ
Ѩ
u
Ѩ v ◊ Ѩ␴ ٙ Ѩ␴ du dv ϭ rot F(␴ (u, v)) ◊
Ѩ␴
Ѩ␴
Ѩu
Ѩv
K
ٙ
Ѩu
Ѩv r r r r r ϭ (Ϫi ϩ k ) (2ui ϩ 2 vj ϩ k ) du dv ϭ
(Ϫ2u ϩ 1) du dv ϭ

r r rot F ◊ n dS ϭ

ÚÚ

ÚÚK

ϭ

2␲ È 1

ù

ÚÚK

Ú0 ÍÎÚ0 (Ϫ2␳ cos ␪ ϩ 1) ␳ d␳ úû d␪ ϭ ␲.
143

Por outro lado,
ባ

Ú⌫

r
Fd⌫ ϭ

r

r

r

r

Ú [i ϩ (sen t ϩ cos t ϩ 3) j ] ◊ [Ϫsen t i ϩ cos t j ] dt ϭ ␲.
2␲

0

De ቢ e ባ segue

ÚÚ␴

r r rot F ◊ n dS ϭ

Ú⌫

r
Fd⌫.
r

r

r

r

3. Sejam B o cilindro x2 ϩ y2 р 1 e 0 р z р 1, e F ( x, y, z ) ϭ xyi Ϫ j ϩ z 2 k .

Consideremos a cadeia ␴ ϭ (␴1, ␴2, ␴3) assim definida:

␴1(u, v) ϭ (cos u, sen u, v), 0 р v р 1, 0 р u р 2␲ (superfície lateral do cilindro),
␴2 (u, v) ϭ (u, v, 0), u2 ϩ v2 р 1 (base inferior do cilindro) e
␴3 (u, v) ϭ (u, v, 1), u2 ϩ v2 р 1 (base superior do cilindro).
Temos
r r r i j k r r Ѩ␴1
Ѩ␴1
ٙ ϭ Ϫsen