Cap1

Cap´ıtulo 1

Proporcionalidade e
Func¸o˜ es Afins
´
Em seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em S˜ao Petersburgo em 1770, o grande matem´atico Leonardo Euler prop˜oe o seguinte problema:
Uma lebre esta´ 50 pulos a` frente de um cachorro, o qual da´ 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para peg´a-la?
˜ que se refere a proporcionalidade,
Este e´ um exemplo de questao assunto que exporemos a seguir.

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Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas s˜ao proporcionais quando existe uma correspondˆencia x → y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condic¸o˜ es:
´
1) Quanto maior for x, maior sera´ y. Em termos matematicos:
˜ x < x implica y < y . se x → y e x → y entao
2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ao o valor correspondente de y sera´ dobrado, triplicado, etc. Na lingua´
˜ nx → ny para todo n ∈ N. gem matematica: se x → y entao
Nas condic¸o˜ es acima, a correspondˆencia x → y chama-se uma proporcionalidade. 3

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Temas e Problemas

˜ de um
Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porc¸ao l´ıquido homogˆeneo. A correspondˆencia x → y cumpre claramente as duas condic¸o˜ es acima, logo o volume e´ proporcional ao peso.
Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retˆangulo que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com´
ˆ
primento de um desses lados e z a area do retangulo.

s z r
Figura 1

A correspondˆencia x → z e´ uma proporcionalidade. Ou seja:
´
quando a altura de um retˆangulo e´ fixada, sua area z e´ proporcional a` base x.
˜ a area
´
Com efeito, em primeiro lugar, se x < x entao z do
´
ˆ
ˆ
z do retangulo de base x mais retangulo de base x e´ igual a` area
´
ˆ a area de um retangulo de base x − x, logo z < z .
ˆ
Em segundo lugar, um retangulo de base n · x pode ser expres˜ de n retangulos
ˆ
so como reuniao justapostos de base x (e mesma
´
´
area