calculo1 aula07

Aula 7
Esbo»cando gr¶ a¯cos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas
Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»c~oes cont¶³nuas em R, com derivadas primeira e segunda tamb¶em cont¶³nuas.
Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»c~ao para fun»c~oes alg¶ebricas. Uma fun»c~ao
¶e alg¶ebrica quando sua f¶ormula f (x) envolve todas ou algumas das quatro opera»c~oes p n racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»co~es de ra¶³zes n-¶esimas (
).
Na verdade, as fun»c~oes da aula 6 s~ao tamb¶em fun»co~es alg¶ebricas.
As fun»c~oes alg¶ebricas que estaremos estudando agora, por¶em, tem uma ou v¶arias das seguintes peculiaridades:
(i) o denominador na f¶ormula de f (x) se anula para um ou mais valores de x;
(ii) para alguns valores de x, f ¶e cont¶³nua em x, mas f 0 n~ao o ¶e;
(iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~ao cont¶³nuas em x, mas f 00 n~ao o ¶e;
(iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶³ntota da curva y = f(x)). (Os gr¶a¯cos das fun»c~oes dos problemas 4 e 6, p¶agina 55, tem ass¶³ntotas horizontais).
A apresenta»c~ao desses novos aspectos no esbo»co de gr¶a¯cos de fun»co~es ser¶a feita atrav¶es de exemplos. Vamos a eles.
2x + 1
Exemplo 7.1 Esbo»car o gr¶a¯co de f , sendo f (x) =
, ou seja, esbo»car a curva x¡2 2x + 1 y= . x¡2 Detectando ass¶³ntotas verticais
Repare que D(f ) = R ¡ f2g.
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¶ficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas
Esboc
» ando gra
Agora, lim+ f (x) = lim = x!2 x>2

x!2

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5
5
= +1, e lim¡ f (x) = lim = ¡ = ¡1
+
x!2 x!2 0
0
x<2

Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»c~ao x = 2 ¶e uma ass¶³ntota vertical do gr¶a¯co de f. Mais precisamente, esses limites laterais detectam que quando x ! 2+ , os pontos correspondentes, no gr¶a¯co, \sobem" no plano xy, aproximando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x ! 2¡ , os pontos do gr¶a¯co \descem" no plano xy, tamb¶em aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶³ntota.
Crescimento e