Calculo1 Aula05

Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶odulo de x como sendo
(
x se x ¸ 0 jxj =
¡x se x < 0 p p p p
Por p exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois
1 ¡ 2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»c~ao f (x) = x +

x jxj cujo campo de de¯ni»c~ao (dom¶³nio) ¶e o conjunto R ¡ f0g.
Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto f (x) = x ¡ 1. O gr¶a¯co de f ¶e esbo»cado na ¯gura 5.1. y 2

1

-2

-1

1

2

x

-1
-2

Figura 5.1. Esbo»co do gr¶a¯co de f (x) = x +
39

x
.
jxj

Limites laterais

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Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f (x) tende a ¡1.
Dizemos ent~ao que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶e igual a 1, e denotamos lim+ f (x) = 1 x!0 Dizemos tamb¶em que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶e igual a ¡1, e denotamos lim¡ f (x) = ¡1 x!0 De um modo geral, sendo f (x) uma fun»c~ao, se x0 est¶a no interior ou ¶e extremo inferior de um intervalo contido em D(f ), lim f (x) signi¯ca

lim f(x)

x!x0 x>x0 x!x+
0

Se x0 est¶a no interior ou ¶e extremo superior de um intervalo contido em D(f), lim f (x) signi¯ca

lim f (x)

x!x0 x<x0 x!x¡
0

Exemplo 5.1
Consideremos agora a fun»c~ao f (x) = 1=x. Conforme j¶a observado no exemplo 4.7, aula
4 (reveja-o), esta fun»c~ao n~ao tem limite quando x ! 0.
Temos D(f) = R ¡ f0g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; +1[. Assim, 0 ¶e extremo superior do intervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶em ¶e extremo inferior do intervalo ]0; +1[ ½ D(f ). y 3
2
y=1/x
1
0
-2

-1

1

2

x

3

-1
-2

Figura 5.2. limx!0+

1 x = +1, limx!0¡

1 x = ¡1

No esbo»co do gr¶a¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^encia dos limites laterais lim+ x!0

1
1
= lim = +1 x x!0 x x>0

lim¡

x!0

1
1
= lim = ¡1 x x!0 x x<0

Limites laterais

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1
x!+1 x

(Tamb¶em ilustramos que lim

1 x!¡1 x

= lim

= 0.)

Neste caso, ¶e conveniente denotar, introduzindo novos s¶³mbolos em