Calculo

Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 – 244.

CAPÍTULO 7

7.6 - EXERCÍCIOS pág. 241 -244
1. Calcular

 f  x, y 
R

dx dy , onde:

a) f x, y   x e xy

; R é o retângulo : 1  x  3; 0  y  1.

xe
1 0 1 0

3 1

xy

dy dx
1

xy x xy  x e dy  e  e  1 0

 e
3 1

x

 1 dx  e x  x  e3  e1  3  1  e3  e  2
3 1

b) f  x, y   y e xy

; R é o retângulo : 0  x  3; 0  y  1.
3 1

 y e
0 0

1 3

xy

dx dy   e
0

1

xy

0

dy  
0



1 1 1 4 1 e  1 dy   e3 y  y   e3  1   e3  .   3 3 3 3 0 3
3y



1

c) f x, y   x cos xy ; R é o retângulo : 0  x  2; 0  y 



2

.

  x cos xy
0 0

2 2

dy dx x 2 2  2 4   cos  2  cos 0     1  1   2   



 x cos xy
0

2

dy  sen xy 0 dx  2

 /2

 sen

 sen 2 x
0

2







 cos


2

x



2


0

d) f x, y   y ln x ; R é retângulo : 2  x  3; 1  y  2. 342

Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 – 244.

  y ln x
1 2

2 3

dx dy

 ln x

dx   du  1 dx x

u  ln x dv  dx

v   dx  x  c 1 dx  x ln x  x x

 ln x  ln x
2 2 1 3

dx   ln x   x   x 
3 2

dx   x ln x  x   3 ln 3  3  2 ln 2  2  3 ln 3  2 ln 2  1 dy   3 ln 3  2 ln 2  1  3  3 ln 3  2 ln 2  1 . 2 y2 2
1 2

 y  3 ln 3  2 ln 2  1

4 1   3 ln 3  2 ln 2  1      2 2

e) f x, y  

1 x y

; R é o quadrado : 1  x  2; 1  y  2.

 x y
1 1 2

2 2

1

dx dy
2 1


1 2 1

dx  ln x  y x y

 ln 2  y  ln 1  y dy

  ln 2  y  ln