Calculo

12 Integral Indefinida
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. Exemplos: 1) F ( x) = 2)

x3 + 5 x + 2 é uma primitiva de f ( x) = x 2 + 5 , pois F ’(x) = x2 + 5. 3

F ( x) = ln( x) + cos( x) − 7 ,
F´(x) = 1 − sen ( x) . x

x

>

0,

é

uma

primitiva

de

f ( x) =

1 − sen ( x) , x

pois

Observação: A primitiva não é única. De fato, a função f ( x) = x 2 + 5 , por exemplo, poderia ter
F ( x) = x3 x3 x3 + 5 x + 5 , F ( x) = + 5 x − 1 ou F ( x) = + 5 x + C , onde C é uma constante qualquer, 3 3 3

como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte propriedade para primitivas:

Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.

Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,
110

onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo

∫

é

chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.

Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução
F(x) + C. Se essa