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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CAPÍTULO 5
Alunas: Jéssica Augusta Pereira da Silva Laynara Xavier Barroso Luisa de Franco Fidalgo Vanessa de Moura Santana
1
Exercícios 5.4
1. Calcule: a) ∭ ∭ onde B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2. ∫ ∫ ∫ ∫ = = =∫ ∫ =∫
∭
b) ∭
onde B é o conjunto
∭
∬ (∫ ∫ (∫ )
) ∫
∬
∭
∭ √
dxdydz onde B é o conjunto 0≤x≤1,0≤y≤1 e 0≤z≤1.
∭ √
dxdydz = ∫ ∫ ∫ √ = ∫ √
=∫ ∫ √ = ∫ √
2
Fazendo substituição trigonométrica : ∫ √ Sendo z=sen; dz=cos Sabendo que ∫ √ d =∫ d= sencos/2 +/2 ,e aplicando em um triangulo retângulo .Temos que: =√ ∫ √ d
Voltando a equação original √ Sen=z/1=z e e cos= √
A plicando na integral encontrada com 0≤z≤1
Temos: ∫ √
[ sencos/2 +/2] =[ z √ =[ 1 √ /2 +arcsen1/2]- [ 0 √
/2 +arcsenz/2] /2 +arcsen0/2]
= arcsen1/2=(π/2)/2=π/4 ∭ √ e)∭ onde B é o conjunto x2+y2≤z≤2x
∭
∬
∫
=∬
Intersecção x2+y2=2x ...Fazendo completamento de quadrado ,temos que : x2+2x +y2 =0 3
x2+2x +1+y2 =1... (x-1)2+y2=1
Mudança de variável { =
Mudança de parâmetros 0≤ ≤1 0≤≤2π Calculando
∭
∫ ∫ ∭
∫ ( ) (
= ∫ )d= ∫
∫
=
= (| = (2π-0)=
∭( 1. Solução: ∭
)
é
∬ *∫
+
∬(
)
-passando para coordenadas polares:
4
2.{ - Jacobiano: | | = =
3.{
4.∫
∫ ( ∫ ∫
) | ∫
∫ ∫
∫
* Integração por partes:
Temos que: ∫ ∫ ∫ ∫ –∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Substituindo na integração:
∭
5
∭
onde B é o conjunto x2+4y2≤1, 0≤z≤1.
∬
∫
Achando k Mudança de variável x= cos 2y= sen ... y= sen /2 Mudança de parâmetros 0≤≤2π 0≤ ≤1 Calculando ∭ . ∫ ∫ ( ) )d d= d= ¼∫ ∫ ∫ ( ) = = /2
=1/4∫ = 1/12∫ ∭
d = 1/12[-cos] =1/12[-cos2π-(-cos0)]=(1/12)x(0)=0
n) ∭ onde B é o conjunto Coordenadas cilíndricas: 01) Mudança de Variável: { Jacobiano: | |
,
02) Verificação de Parâmetros:
π
6
03) Calcular: ∫ π⁄ ∫ π⁄ ∫ ∫
∫
∫
π⁄
∫ ∫ ∫