calculo

Cálculo 2

Prof. Celso Pieroni

INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO
Integral de uma função em R

• Nesta aula será introduzido o conceito de integral de uma função. Em primeiro lugar, trataremos o conceito de integral indefinida, que consiste no processo inverso da derivação.
• Iniciaremos o estudo de integração de funções da seguinte forma:
Definição 1. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para todo x  I, temos F’(x) = f(x).

Cálculo II

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Integral de uma função em R

INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO x3 f ( x)  x 2 , pois
Exemplo. Temos que F ( x )  é uma primitiva da função
3
1
2
2
F ' ( x)   3x  x  f ( x)
3
3 x 2
As funções G ( x) 
 4 e H ( x)  f ( x)  x também são consideradas primitivas da
3
1 3 função W ( x)  ( x  3) , pois
3

G ' ( x)  H ' ( x)  f ( x)
Cálculo II

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INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO
Integral de uma função em R

Com isso, temos os seguintes resultados:

Proposição 1.1. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x)= F(x) + c também é primitiva de f(x).

Proposição 1.2. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, temos , F ' ( x)  G ' ( x)  f ( x) para todo x  I.

Cálculo II

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INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO
Integral de uma função em R

EXEMPLO. Temos que ( sen x)'  cos x

Assim, F(x) = sen x é uma primitiva da função f(x) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma:

G ( x)  sen x  c onde c é igual a uma constante (determinamos assim uma família de funções). Cálculo II

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INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO
Integral de uma função em R

Definição 2. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão é chamada integral indefinida de uma função f(x) e é denotada por:



f ( x) dx  F ( x)  c
Cálculo II

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PROPRIEDADES DE INTEGRAL DEFINIDA
Integral de uma função em R

Proposição 1.3. Sejam f, g: I  ℝ e k uma constante. Então:

(i)

k

f ( x) dx  k  f (