calculo

DERIVADAS PARCIAIS

01) Calcule as derivadas parciais

z z
, , f x , f y das funções dadas:
x y

1.1) z  3 x 2  5 x y
1.2) z 

2 x3
 6 x3  y 2 y 1.3) z  x 4 cos( x  x 2 y )
2

1.4) f ( x, y )  e x  y ln(

x  x3 y
)
y3  2

1.5) f ( x, y )  (3x y )(

x3 y  2 x3 y )

02) Mostre que a função dada é harmônica : f xx  f yy  0
2.1) f ( x, y )  ln x 2  y 2
2.2) f ( x, y )  e  x cos y  e  y cos x
2.3) f ( x, y )  e x cos y
2.4) f ( x, y )  x 2  y 2
03) Faça o que se pede:
3.1) a) Se z  x 3  2 xy 2 , mostre que xz xx  yzxy  2 z x
b) Dada u  x 3  y 3  z 3  3 xyz , mostre que xu x  yu y  zu z  3u.
c) Dada w  x 2 y  y 2 z  z 2 x , verifique

w w w
2


 x  y  z 
x y z

xy 2
z
z
 0.
d) Seja z  3
, mostre que x  y
3
x
y
x y
3.2) Suponha que u  f ( x, y ), v  g ( x, y ) verifiquem as relações de Cauchy-Riemann:
u 1 v v
1 u

, 
.
u x  v y , u y  v x .Se x  r cos , y  rsen mostre que
r r  r r 
3.3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície

f ( x, y )  x 2  y 2 com o plano y=1 no ponto P(2,1,5).
3.4) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da superfície
36 x 2  9 y 2  4 z 2  36  0 com o plano x=1 no ponto P(1, 12 ,3 3 ) .
3.5) Seja T ( x, y )  30  50  x 2  y 2 a temperatura numa chapa plana, onde x,y são medidas em metros e T em °C. Determine:
a) Domínio da função;
b) T(3,4);
c) Se a partir de (3,4) um objeto se deslocar na direção do eixo x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá?Faça os mesmos cálculos caso o objeto se desloque no direção do eixo y, sentido positivo.
3.5) Seja f ( x, y )  300  2 x 2  3 y 2 a equação que representa a profundidade de um lago, sendo x,y,f(x,y) medidas em metros.Se um esquiador está na água no ponto (4,9) ache a taxa instantânea à qual a profundidade varia na direção:
a) Do eixo x;
b) Do eixo