Calculo

50

Exercícios resolvidos

Vibrações
1.Um oscilador harmónico tem movimento segundo a equação x(t) = 20 cos (

π π t − ) cm.
2
4

Determine:
1.1

a velocidade e aceleração para t = 0,5 s;

1.2

a velocidade e aceleração máximas;

1.3

as condições iniciais.

Resolução

x(t) = 20 cos ( v(t) = -20x

ππ t - ) cm
24

π ππ sen ( t - ) cms-1
2
24
2

ππ
π
a(t) = -20x   cos ( t - ) cms-2 ou
24
2
1.1

2

π a=− ω x=−   x
2
2 o em t = 0,5 s

v(t) = -20x

π ππ sen ( - )= 0 cms-1
2
44
2

ππ
π
a(t) = -20x   cos ( - ) = - 49,3 cms-2
44
2
1.2

vmax = ωo A=

π
2

x

20 = 10 π cms-1

π amax= ω A=  
2
2 o 1.3

2

x

20 = 49,3 cms-2

em t = 0

2
 π xo = A cos ϕo = 20 cos  −  = 20
= 14,1 cm
2
 4

π
2

vo = -ωo A sen ϕo = −
π
ao = − ω xo = −  
2
2 o Mecânica Física

2

x

2
 π
= 22,2 cms-1
20 sen  −  = 10 π
2
 4

π x 14,1=  
2

2

x

14,1 = − 34,5 cms-2

ACF-DEM

51

Exercícios resolvidos

Uma partícula de 8 g tem movimento harmónico simples com 12 cm de

2

amplitude e frequência de 80 Hz. No instante t = 2 s a partícula ocupa a posição x =
6 cm com velocidade (+).
Calcule:
2.1

a equação da elongação x(t);

2.2

a força de restituição máxima;

2.3

a energia mecânica da partícula;

2.4

a energia cinética e potencial no instante inicial.

Resolução

2.1

x = 6 cm ∧

m =8 g; A = 12 cm; f = 80 Hz. No instante t = 2 s

v> 0

A equação da elongação é x = A cos (ωot+ϕo) ωo = 2πf = 160π rads-1
Em t = 2 s
6 = 12cos (320π+ϕo) ⇒ cos (320π+ϕo) = 0,5
320π+ ϕo = −

π
+2nπ
3

v

320π+ ϕo =

π
+2nπ
3

Como v > 0 ⇒ sen (320π+ϕo) < 0 ⇒ 320π+ ϕo = − x = 0,12 cos (160πt −

π
)m
3

com n inteiro π π
+2nπ ⇔ ϕo = −
3
3

(Frest)max = K A = m ω2 A = 8x10-3 x1602 x π2x0,12 = 242,56 N o 2.2

Frest = -Kx

2.3

E mec =

2.4

xo = 0,12cos