CAlculo

Engenharia Civil/Mecânica - 2013
CálculoII: Profa: Gina
Lista de Exercícios- 2ºbimestre

Máximos e Mínimos de uma função de duas variáveis
Observe as figuras abaixo:

Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a,b) se f(x,y) ≤ f(a,b) quando (x,y) está próximo de (a,b)[Isso significa que f(x,y) ≤ f(a,b) para todo ponto (x,y) em alguma bola aberta com centro em (a,b).] O número f(a,b) é chamado valor máximo local. Se f(x,y) ≥ f(a,b) quando (x,y) está próximo de (a,b), então f tem um mínimo local em (a,b) e f(a,b) é um valor mínimo local.
Se as inequações da definição acima valerem para todos os pontos (x,y) do domínio de f, então f tem um máximo absoluto(ou mínimo absoluto) em (a,b).
Pontos críticos
Os pontos (a,b) do domínio de uma função f(x,y) para os quais f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0
,ou se uma das derivadas não existir, são chamados de pontos críticos de f.Esses pontos críticos desempenham um papel importante no estudo dos máximos e mínimos locais. Observe os gráficos ao lado:
Teorema: Se f tem um máximo ou mínimo local em (a,b), e as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem nesse ponto, então f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0

Isso significa que se f tem um máximo ou mínimo local em (a,b), então (a,b) é um ponto crítico de f.
Exemplo: Seja f(x,y) = x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 14
Calculando as derivadas parciais, concluímos que elas se anulam para x=1 e y =3 e portanto o único ponto crítico é o ponto (1,3) que observamos ser um ponto mínimo local e mínimo absoluto pois f(1,3) = 4 ≤ f(x,y) para todos os valores de x e y.

Pontos de sela
Embora todos os extremos locais( máximos e mínimos locais) de uma função devam ocorrer em pontos críticos, os pontos críticos não são necessariamente extremos locais. Em um ponto crítico, a função pode ter um máximo local, um mínimo local ou ainda nenhum dos dois.
Seja f(x,y) = y 2 − x 2
A origem (0,0) é um ponto crítico de f. A superfície de z = y 2 − x