Calculo

RUNGE-KUTTA Como já mencionamos, os métodos de Runge-Kutta mais comuns de serem encontrados são o de segunda, o de terceira e o de quarta ordem, com a precisão do resultado obtido aumentando com a ordem do método. Também é comum encontrar o método de Runge-Kutta para Equações Diferenciais de primeiro grau e de segundo grau, conforme apresentamos aqui. Essa parte que segue foi copiada do Handbook of Mathematical Functions de Abramowitz e Stegun.
1. Equações Diferenciais de Primeiro Grau, ou seja, as que podem ser escritas da forma: Para todos os casos apresentados a seguir é preciso ficar bem claro que a função a ser encontrado é y. Como estamos trabalhando computacionalmente, ela estará discretizada, então será um yn., correspondente a uma posição xn. O próximo ponto da coordenada será xn+1, dado por: Para esse ponto queremos obter quanto vale yn+1. Tendo esses valores, repetimos o processo e obtemos os próximos: xn+2 e yn+2, e assim por diante.
• Runge-Kutta de segunda ordem
Existem duas formas de se aplicar o método de Runge-Kutta de Segunda Ordem para Equação Diferenciais de Primeiro Grau. Podemos escolher entre entre essas duas formas. Ambas são apresentadas abaixo. Na primeira forma definimos:

Na segunda forma desse método o valor de k2 é diferente, assim como será diferente a forma de escrever o próximo ponto yn+1:

Resumindo, temos o quanto vale o primeiro valor x para o qual corresponde o primeiro valor de y, EM NÚMEROS, EM VALORES. Então sabemos calcular k1. Obtendo k1 podemos calcular k2, pois onde entrava x e y substituiremos pelos novos valores de x e de y expressos como devem ser calculados na forma de f que aparece no k2. Assim chegaremos ao valor de k2. Tendo esses novos números em mãos, podemos obter os próximos x e y.
Numericamente, então, a seqüência que temos que seguir é a seguinte:
1. fixar h, tendo xo e yo como entrada;
2. temos que saber como se escreve a