Calculo

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU
CÁLCULO III
INTEGRAIS DE LINHA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule a integral de linha

∫ ( x + 2y ) ds, onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3
C

e orientada no sentido positivo.
Solução:
A parametrização dessa semicircunferência será dada por:

r r r r(t) = 3 cos ti + 3sent j, 0 ≤ t ≤ π ⇒ ds =

( −3sent )

2

2

+ ( 3cos t ) dt ⇔ ds = 9 dt = 3dt . Substituindo:

π

∫ ( 3cos t + 6sent )3dt = 3 ( 3sent − 6 cos t )

π
0

= 3 × (12 ) = 36

0

2. Calcular a integral

∫ ( x² + y² − z ) ds,

onde C é a hélice circular dada por :

C

r r r r r(t) = cos ti + sent j + tk de P(1,0,0) a Q(1,0,2π)
Solução:

ds =

( −sent )

2π

2

+ ( cos t ) ² + 1dt = 2 dt. Assim, podemos escrever:

∫ ( cos ²t + sen²t − t )
0

2π

2π

 t² 
2 dt = 2 ∫ (1 − t )dt = 2  t − 
2 0

0

2π

4 π² 

2 ∫ (1 − t )dt = 2  2π −
= 2π 2 (1 − π )
2 


0
3. Calcule

∫ ( 2x − y + z ) ds , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).
C

Solução:
Parametrização do segmento de reta AB:

 x(t) = 2 + t uuu r r r r suu  r AB = (1, −2, −2) = i − 2j − 2k; B(2,0,1) ⇔ AB :  y(t) = −2t
z(t) = 1 − 2t

y = 2 ⇒ t = −1; y = 0 ⇒ t = 0 ∴ −1 ≤ t ≤ 0

1

AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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ˆ
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ˆ
r(t) = x ( t ) ˆ + y ( t ) ˆ + z ( t ) k ⇔ r(t) = ( 2 + t ) ˆ − 2tj + (1 − 2t ) k i j i Assim : u r r r r r r '(t) = i − 2j − 2k ⇒ r(t) = 1 + 4 + 4 = 9 = 3 ∴ ds = 3dt

(1)

f ( x,y,z ) = 2x − y + z ⇔ f ( t ) = 2(2 + t) − ( −2t) + 1 − 2t = 4 + 2t + 2t + 1 − 2t = 5 + 2t ∴ f ( t ) = 5 + 2t

(2)

Substituindo (1) e (2) na integral dada:
0

0

∫ ( 2x − y + z ) ds = ∫ ( 5 + 2t ) 3dt = 3 ∫ (5 + 2t) dt = 3(5t + t²) |

0
−1

C

−1

−1

∫ ( 2x − y + z )