Calculo varias variaveis

Domínio das Funções Reais de Várias Variáveis
Sadao Massago
Maio de 2011

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Apresentação

f : Rn → R denominado de funções reais de várias variáveis. Em geral, muito das propriedades no caso de n = 2 e n = 3 também valem para casos de n geral. No caso do Cálculo, costumamos concentrar o estudo para casos de n = 2 e n = 3 por poder ser visualizados facilmente, n mas esteja atentos de que nem tudo pode ser generalizado para R . Por exemplo, o produto vetorial
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só pode ser usado para R .
Consideremos a função

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Domínio no caso de f : R2 → R f : R → R,

Apesar de requerer cuidados maiores que no caso de

ainda podemos resolver com ajuda

gráca.
Como exemplo, consideremos

x2 + y 2 − 1 ≤ 1},

f (x, y ) =

x2 + y 2 − 1.

O domínio é

o que não é difícil de ver que é o interior do círculo de

o que é feito no exemplo mais adiante.

Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R2 : raio 1, inclusive o círculo,

Vamos analisar com mais cuidado, enunciando resultados

necessários para proceder no caso geral.
Apesar de ainda não ter discutido aqui, supomos que já sabemos o que seria contínua no caso de f : Rn → R.

Por exemplo, polinômios sempre é contínua, como no caso de

f (x, y, z ) = x2 y + z .

As funções que sejam função contínua de uma única variável também é contínua.

f (x, y ) = e

x

Por exemplo,

é contínua. A soma, o produto e a composta (quando existe composta) da contínua é

contínua e quociente da contínua é contínua se denominador não for nulo. Assim, já temos muitos exemplos das funções contínuas.
Teorema 2.1. Seja

g : Rn → R

uma função contínua numa região conexa por por caminhos

que não anula em nenhum dos pontos de

D.

Então

g

não muda de sinal em

D

tal

D.

g : Rn → R uma função contínua em D tal que não anula em nenhum ponto.
Então g (x1 , . . . , xn ) > c para algum ponto (x1 , . . . , xn ) ∈ D se, e somente se, g (x1 , . . . , xn ) > c para todo ponto (x1 , . . . , xn )