Calculo Quantico

C´ alculo Quˆ antico ´Icaro Gon¸calves∗ and Rold˜ao da Rocha Jr†
Centro de Matem´ atica, Computa¸ca
˜o e Cogni¸c˜ ao, Universidade Federal do ABC, 09210-170, Santo Andr´e, SP, Brazil

RESUMO

Este trabalho faz parte de um extenso programa que tem, dentre as v´arias motiva¸c˜oes, a introdu¸c˜ao de um formalismo matem´ atico que seja capaz de se descrever fenˆomenos da Natureza na escala de Planck (∼ 10−33 cm). O c´alculo quˆantico, ou q-c´alculo, proporciona a introdu¸c˜ ao de um formalismo subjacente ` a denominada geometria das tran¸cas — em particular no plano cartesiano — e generaliza os conceitos de ´algebra e super´algebra, que s˜ao apenas casos particulares quando q = ±1. Planos quˆ anticos s˜ao exemplos simples de espa¸cos quˆanticos e tˆem sido intensamente estudados por muitos autores nos u
´ltimos anos. Eles surgem como deforma¸c˜oes de planos em que grupos quˆ anticos agem de maneira covariante. Um dos planos quˆanticos, referidos como o plano quˆ antico q-deformado ou plano quˆantico de Manin, ´e definido como a
´algebra associativa geradas por dois elementos n˜ao-comutativos X e Y tais que XY = qY X.
A partir dos conceitos fundamentais do q-c´alculo e aritm´etica quˆantica, este trabalho investiga o princ´ıpio da q-contagem em an´ alise combinat´oria e parti¸c˜oes cl´assicas dos n´ umeros inteiros, a fim de posteriormente introduzir matrizes quˆanticas e o plano n˜ao-comutativo. Um dos objetivos centrais ´e primeiramente introduzir os fundamentos do c´alculo sobre reticulados atrav´es do qc´alculo, suas generaliza¸c˜ oes e alguns resultados importantes e n˜ao-triviais em teoria de n´ umeros neste contexto, ainda que a obten¸c˜ ao dos mesmos resultados utilizando o formalismo padr˜ ao possa ser extremamente extenso.
Dentre as v´ arias estruturas matem´ aticas que se destacam pela versatilidade e importˆancia de suas aplica¸c˜ oes, o q-c´ alculo ocupa posi¸c˜ao privilegiada. Certamente ´e atrav´es de suas