Calculo P1 Gabaritada

Departamento de Matemática - IMECC - Unicamp
MA111- Primeiro Semestre de 2014
1a Prova - 03/04/2014 (5a -Noturno)
Nome: ........................................................................................
R.A.: ............... Turma:........

Questção

1

2

3

4

Total

Nota

Q1.(3.0) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas. x3 − 6x + 7 x→2 x2 + 1
√
2x + 7 − 3
(c) lim x→1 (x2 − 1)

(a) lim

1
(b) lim x2 sen( 10 ) x→0 x
)
( x−2 (d) lim+ x→1 cos( π2 x)

Solução.
(a) (0.6) Utilizando as propriedades básicas de limites lim (x3 − 6x + 7) x3 − 6x + 7 x→2 lim
=
x→2 x2 + 1 lim (x2 + 1)

(0.2)

x→2

lim x3 − 6 lim x + lim 7

=

x→2

x→2
2

(0.2)

lim x + lim 1

x→2

=

x→2

x→2

3
23 − 6 · 2 + 7
=
2
2 +1
5

(b) (0.9) Note que, sempre temos
)
(
1
≤1
−1 ≤ sin x10 (0.2)

(0.3)

Logo, multiplicando ambos lados das desigualdades pelaquantidade positiva x2 , temse
)
(
1
2
2
≤ x2
(0.2)
−x ≤ x sin x10 Então, podemos aplicar o Teorema do Confronto, sendo que lim (−x2 ) = 0

e

x→0

Logo,

(
2

lim x sin

x→0

1 x10 lim x2 = 0

(0.2)

x→0

)
=0

(0.2)

(c) (0.7) Racionalizando as raises e aplicando diferença de quadrados temos,
√
√
√
2x + 7 − 3
2x + 7 − 3
2x + 7 + 3 lim = lim
×√
(0.2)
2
2 x→1 x→1
(x − 1)
(x − 1)
2x + 7 + 3
(√
)2
2x + 7 − 32
√
= lim 2
(0.2)
x→1 (x − 1)( 2x + 7 + 3)
2x + 7 − 9
√
x→1 (x − 1)(x + 1)( 2x + 7 + 3)

= lim

2(x − 1)
√
x→1 (x − 1)(x + 1)( 2x + 7 + 3)

(0.2)

= lim
= lim

x→1

=

2
(x + 1)( 2x + 7 + 3)
√

2
1
√
=
6
(1 + 1)( 2 + 7 + 3)

(0.1)

(d) (0.8) Analizando por separado, note que o númerador x − 2 aproximase de −1, quando x → 1+ (x > 1).
(0.3)
Por outro lado, cos( π2 x) fica perto do zero, mas π2 x esta no segundo quadrante quando x → 1+ (x > 1), onde o cosseno é negativo.
(0.3)
Então,
(
lim

x→1+

x−2 cos( π2 x)

)
= +∞

(0.2)

Q2.(2.5) Sejam m e b constantes e f : R → R dada por
 2
, se x ≥ 1
 3x
.
f (x) =

mx + b , se x < 1
(a) Encontre os valores de m e b para que f seja derivável