Calculo ii - derivadas

CÁLCULO II Atividade Aberta 1 – 8 pontos Resolução Questão 1 O gráfico da derivada f ′ de uma função f está mostrado abaixo.

Com base nas informações desse gráfico: (a) determine os intervalos em que a função y = f (x) é decrescente. Justifique sua escolha; (b) indique para que valores de x a função y = f (x) tem um máximo ou um mínimo local; justifique sua escolha: (c) indique para que valores de x o gráfico de y = f (x) tem concavidade voltada para cima; justifique sua escolha; (c) no mesmo sistema da figura, esboce um possível gráfico da função y = f (x) , considerando que f (−2) = 3 e f (1) = −1 . Solução

a) A função y = f (x) é decrescente para −2 ≤ x ≤ 1 , intervalo em que sua derivada é negativa. b) A função y = f (x) tem um máximo local em x = −2 , ponto em que a derivada passa de positiva para negativa. A função y = f (x) tem um mínimo local em x = 1 , ponto em que a derivada passa de negativa para positiva. c) A função derivada f ′ é crescente se x > −0,5 . Isso significa que a derivada segunda f ′′ é positiva para x > −0, 5 e, em consequência, o gráfico de y = f (x) tem concavidade voltada para cima quando x > −0,5 . d) Na figura está um possível gráfico de y = f (x) , passando pelos pontos (−2, 3) e (1, − 1) .

Questão 2 Na figura abaixo, estão o gráfico da função f (x) = − x 2x + 6 e o de sua derivada f ′ .

Com base nessas informações: (a) marque na figura acima o gráfico de f e o gráfico de f ′ ; (b) indique em que intervalo a função f é crescente e justifique sua indicação; (c) escreva a equação da tangente à curva f (x) = − x 2x + 6 no ponto de abscissa x = −1 ; (d) determine as coordenadas do ponto do gráfico de f (x) = − x 2x + 6 em que a tangente é horizontal. Solução a) Conforme assinalado na figura, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e o gráfico de f ′ , concavidade voltada para cima. x 3x + 6   b) A derivada de f é a função f ′(x) = −  2x + 6 + . =− 2x + 6  2x + 6  A função f é crescente é crescente para −3 < x