Calculo ii: aplicações da integral

1 ESPAÇO PERCORRIDO POR UM MÓVEL

O espaço percorrido S é o menor número que é maior ou igual aos comprimentos dos poligonais construídos, através da consideração de todas as partições de [a, b]. Se esse numero existe a curva se diz retificável.
Proposição: Seja P(t) = (f(x), g(x)) um movimento pontual a ≤ x ≤ b ( as funções f(x) e g(x) são supostas deriváveis em [a, b], com derivadas contínuas). Então a curva é retificável. Ex: Achar os espaços percorridos pela curva parametrizada:
X = 2 cos t
Y = 2 sem t

2 TRABALHO DE UMA FORÇA VARIAVEL

Trabalho na física é considerado como uma energia transferida para um objeto por intermédio de uma força atuando sobre o mesmo. Sendo o trabalho o produto da força pela distancia percorrida.
Agora se a força é variável, definimos trabalho (w), usando a integral definida. Ou seja, queremos uma expressão para o trabalho realizado pela força F sobre um objeto, quando ele se desloca de uma posição inicial xa para uma posição final xb, com xa < xb. Usando uma curva como exemplo, o trabalho seria a área abaixo da curva, de xa à xb. Aproximando a área com retângulos, quanto menor for os retângulos mais exato é a área, ou seja, o trabalho. Fazemos então a largura dos retângulos tenderem a zero, ou seja: Este limite é a definição da integral da função f(x) entre os limites xa e xb, portanto o seu trabalho: Exemplo: Uma criança rolando uma pedra utiliza uma força de 120 + 25 sem x Newtons sobre ela, quando esta rola x metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra rolar 2 metros?
Solução. No ponto 0 inicia-se o movimento. Queremos calcular o trabalho W, realizado pela força F(x) = 120 + 25 sem x, sobre a pedra, quando esta se desloca de 0 até 2.

3 PRESSÃO DE LÍQUIDOS

Outra aplicação da integral definida é para encontrar a força causada pela pressão de um líquido sobre um recipiente submerso no líquido. Como a pressão varia com a profundidade, a força total numa região